2. Nâng cao
• Cho a b N , ∈ và ( ) a b , = d . N ếu a = dm và b = dn thì suy ra: ( m n , ) = 1
• Cho a b N , ∈ và [ ] a b , = c . N ếu c = am và c = bn thì suy ra ( m n , ) = 1 .
• ( ma mb , ) = m a b ( ) , và [ ma mb , ] = m a b [ ] ,
• N ếu ab m và ( a m , ) = 1 thì b m
• N ếu a m và a n thì a b m n . [ ] , đặc biệt nếu a m và a n mà ( m n , ) = 1 thì a mn
Tích hai s ố bằng tích của BCNN và ƯCLN của chúng: a b . = ( ) a b , . , [ ] a b
II. M ỘT SỐ VÍ DỤ
D ạng 1. Các bài toán về ước chung và bội chung.
Ví d ụ 1. Tìm ƯC(28, 70); BC(4; 14).
Gi ải
+ Ta có Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}
Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}
T ừ đó suy ra ƯC(28; 70) = Ư(28) ∩ Ư(70) = {1; 2; 7; 14}
+ Ta có: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;....}
B(14) = {0; 14; 28; 42; 56;....}.
T ừ đó suy ra: BC(4, 14) = B(4) ∩ B(14) = {0; 28; 56; ...}
Nh ận xét:
D ựa vào các chú ý trong phần I, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác sau đây:
+ Ta có: 28 2 .7 ; 70 2.5.7 =
2 = ⇒ ƯCLN(28,70) = 2.7 = 14.
V ậy ƯC(28,70) = Ư(ƯCLN(28,70)) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}
+ Ta có: 4 = 2 2 và 14 = 2.7 ⇒ BCNN(4,14) = 2 2 . 7 = 28.
V ậy BC(4,14) = B(BCNN(4,14)) = B(28) = {0; 28; 58;...}.
Ví d ụ 2: Tìm s ố tự nhiên a, biết rằng 332 chia cho a thì dư 17, còn khi chia 555 cho a
thì được dư là 15.
Gi ải:
Vì 332 chia cho a dư 17 nên 332 – 17 = 315 a và a > 17.
Vì 555 chia cho a dư 15 nên 555 – 15 = 540 a và a > 15.
⇒ a ∈ ƯC(315,540)và a > 17.
Ta có: 315 = 3 2 . 5.7 và 540 = 2 2 . 3 3 . 5
⇒ ƯCLN(315,540) = 3 2 . 5 = 45.
Do đó : a ∈ ƯC(315, 540) = Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}.
Vì a > 17 nên a = 45.
V ậy a = 45
Ví d ụ 3: Tìm s ố tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 18; 24 ;
30 có s ố dư lần lượt là 13; 19; 25.
G ọi số cần tìm là a, 1000 ≤ ≤ a 9999 .
Vì a chia cho 18 dư 13 nên ta có a = 18 . q + 13.
⇒ a + 5 = (18.q + 18) 18.
Tương tự, ta cũng có : a + 5 chia hết cho 24 và 30.
Do v ậy a + 5 ∈ BC(18,24, 30) ⇒ (a + 5) BCNN(18, 24, 30).
Ta có: BCNN(18, 24, 30) = BCNN(2.3 2 , 2 3 .3, 2.3.5) = 2 3 . 3 2 .5 = 360
⇒ a + 5 360 hay a + 5 = 360.k v ới k ∈ N*.
⇒ a = 360.k – 5.
Ta th ấy k càng lớn thì a càng lớn,vì vậy để a là số nhỏ nhất thì k phải nhỏ nhất.
V ới k =1 thì a = 355 < 1000: không thỏa mãn.
V ới k =2 thì a = 715 < 1000: không thỏa mãn.
V ới k = 3 thì a = 1075 < 1000: thỏa mãn.
V ậy số cần tìm là 1075.
Nh ận xét: Ta có th ể dùng cách suy luận khác như sau:
Vì 1000 ≤ ≤ a 9999 nên ta có 1000 ≤ 360. k − ≤ 5 9999
C ộng ba số với 5 ta được: 10005 ≤ 360. k ≤ 10004 .
Chia ba s ố cho 360, ta được: 1005 10004 67 2501
360 ≤ ≤ k 360 ⇔ 24 ≤ ≤ k 90
Vì k ∈ N * nên 3 ≤ ≤ k 27 .
V ậy giá trị nhỏ nhất của k là 3. Tương ứng sẽ cho giá trị nhỏ nhất của a là 1075. Ngoài
ra, giá tr ị lớn nhất của k là 27. Tương ứng sẽ cho giá trị nhỏ nhất của a là 360. 27 – 5 =
9715
Ví d ụ 4: Tìm hai s ố tự nhiên a, b biết rằng a + b = 128 và (a, b) = 16.
Vì (a, b) = 16 nên a = 16.m ; b = 16. n và (m, n) = 1.
Vì a + b = 128 nên 16m + 16 n = 128 ⇒ + = m n 8
Vì (m, n) = 1 và m + n = 8 nên ta có b ốn trường hợp sau:
• m = 1 và n = 7 ⇒ a = 16 . 1 = 16 và b = 16 . 7 = 112.
• m = 3 và n = 5 ⇒ a = 16 . 3 = 48 và b = 16 . 5 = 80.
• m = 5 và n = 3 ⇒ = a 16.5 = 80 và b = 16.3 = 48 .
• m = 7 và n = 1 ⇒ = a 16.7 = 112 và b = 16.1 16 = .
V ậy bài toán có 4 đáp số là:
a 16 48 80 112
b 112 80 48 16
Trong ví d ụ trên ta thấy rằng: bài toán có đáp số là a = 48 ; b = 80 thì cũng có đáp số
là a = 80 ; b = 48 . Điều đó có được là do vai trò của a và b trong đó đề bài là như
nhau. V ới những bài toán như vậy, ta thường giửa sử a ≤ b để làm giảm số trường
Ví dụ 5. Tìm hai s ố tự nhiên a , b bi ết rằng: ( ) a b , = 6 và [ ] a b , = 36 .
Vì vai trò c ủa a và b là như nhau, nên không mất tính tổng quát, ta giẩ sử a ≤ b .
Áp d ụng công thức: a b . = [ ] a b , . ( ) a b , , ta có: . a b = 36.6 = 216 .
Vì ( ) a b , = 6 nên a = 6. m và b = 6. n , v ới m ≤ n và ( m n , ) = 1
Thay vào . a b = 216 ta được: 6 .6 m n = 216
36 mn = 216
Bạn đang xem 2. - Chuyên đề ôn tập và bổ túc về số tự nhiên -
