CHỨNG MINH RẰNG TRONG TẬP HỢP X LUƠN TÌM ĐƯỢC HAI PHẦN TỬ X, Y S...
2006. Chứng minh rằng trong tập hợp X luơn tìm được hai phần tử x, y sao cho x – y thuộc
tập hợp
E
=
{3; 6;9}
.
Hướng dẫn giải
Giả sử 700 số nguyên dương đã cho là
a a
1
,
2
,...,
a
700
. Ta xét các tập hợp sau:
CH
UY
ÊN
Đ
Ề
SỐ
H
ỌC
=
A
a a
a
{ ,
,...
};
1
2
700
=
+
+
+
{
6,
6,...
6};
B
a
a
a
{
9,
9,...
9};
C
a
a
a
Tổng số phần tử của ba tập hợp A, B, C là 700.3 = 2100, trong đĩ mỗi phần tử đều khơng
vượt quá 2006 + 9 = 2015, mà 2100 > 2015 nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai phần tử
bằng nhau. Vì mỗi tập hợp A, B, C cĩ các phần tử đơi một khác nhau nên hai phần tử bằng
nhau đĩ phải thuộc hai tập hợp: A và B, hoặc A và C, hoặc B và C.
- Nếu hai phần tử thuộc A và B, chẳng hạn
a
i
=
a
j
+
6
suy ra
a
i
−
a
j
=
6
.
- Nếu hai phần tử thuộc A và C, chẳng hạn
a
i
=
a
j
+
9
suy ra
a
i
−
a
j
=
9
.
- Nếu hai phần tử thuộc B và C, chẳng hạn
a
i
+ =
3
a
j
+
6
suy ra
a
i
−
a
j
=
3
.
Như vậy luơn tồn lại hai số thuộc tập hợp A cĩ hiệu là 3, 6, 9. Ta được điều phải chứng
minh.
(Ở đây 2100 “thỏ” là 2010 phần tử của ba tập hợp A, B, C; 2015 “lồng” là các số từ 1 đến