TA CÓ A = A AN N 1−...A A1 0 = AN.10N + AN-1.10N-1 + ...+ A1.1...

Bài 15. Ta có a = a a

_n

_{n 1}

₋

...a a

_{1 0}

= a

ⁿ

.10

ⁿ

+ a

^n-1

.10

^n-1

+ ...+ a

¹

.10 + a

⁰

. a) Ta có 10

≡

1(mod 9) do đó a

ⁱ

. 10

ⁱ

≡

a

ⁱ

(mod 9) , i = 1; 2; 3; ...; n Do đó a

≡

(a

ⁿ

+ a

^n-1

+ ...+ a

¹

+ a

⁰

) (mod 9). Vậy a  9

⇔

a

ⁿ

+ a

^n-1

+ ...+ a

¹

+ a

⁰

≡ 0 (mod 9)

⇔

a

ⁿ

+ a

^n-1

+ ...+ a

¹

+ a

⁰

 9. b) Ta có 10

²

= 100

≡

0 (mod 25)

⇒

a

ⁱ

. 10

ⁱ

≡

0 (mod 25) , i = 2; 3; ...; n.

⇒

a

≡

(a

¹

.10 + a

⁰

) (mod 25).

CH UY ÊN Đ Ề S Ố H Ọ C

Vậy a  25

⇔

a

¹

. 10 + a

⁰

≡

0 (mod 25)

⇔

a a

_{1 0}

 25. c) Do 10

≡

– 1 (mod 11)

⇒

a

ⁱ

. 10

ⁱ

≡

a

ⁱ

.(– 1)

ⁱ

(mod 11) a

≡

(a

⁰

+ a

²

+ a

⁴

+ ...) – (a

¹

+ a

³

+ a

⁵

+

^...

) (mod 11) Do đó a  11

⇔

(a

⁰

+ a

²

+ a

⁴

+ ...) – (a

¹

+ a

³

+ a

⁵

+

^...

)

≡

0 (mod 11) Tức là hiệu của tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn bằng 0. d) Ta có 10

³

= 1000

≡

0 (mod 8)

⇒

a

ⁱ

. 10

ⁱ

≡

0 (mod 8) , i = 3; 4; ...; n.

⇒

a

≡

(a

²

. 10

²

+ a

¹

.10 + a

⁰

) (mod 8). Vậy a  8

⇔

a

²

. 10

²

+ a

¹

. 10 + a

⁰

≡

0 (mod 8)

⇔

a a a

_{2 1 0}

 8.