GIẢI PHƯƠNG TRỠNH

Bài 1 . Giải phương trỡnh: 4x

²

+ −5 13x+ 3x+ =1 013

2

33 −  = + −2 3 1x xNhận xột : Nếu chỳng ta nhúm như những phương trỡnh trước : ữ4 4 Đặt 13y− 4 = x+ thỡ chỳng ta khụng thu được hệ phương trỡnh mà chỳng ta cú thể giải được.Để thu được hệ (1) ta đặt : αy+ =β 3x+1 ^{, chọn} α β, sao cho hệ chỳng ta cú thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng ) + = +  + − + − =α βα αβ βy y x ⇔y x3 12 3 1 0 (1)4 13 5 0 (2) (*)  Ta cú hệ :

( )

²

²

²

²

− + + + =

2

2

− + = − − x x y 4 13 5Để giải hệ trờn thỡ ta lấy (1) nhõn với k cộng với (2): và mong muốn của chỳng ta là cú nghiệm x= y− −

2

2 3

2

1= =Nờn ta phải cú : − + , ta chọn được ngay α = −2;β =3Ta cú lời giải như sau :3 1 (2 3), ( )Điều kiện: 1x≥ −3, Đặt 3x+ = − y− y≤ 2 − = + +

2

(2 3) 2 1x y x ⇒ − + − =( )(2 2 5) 0x y x y − = +Ta cú hệ phương trỡnh sau: (2 3) 3 1Với 15 97x= ⇒ =y x −82 2 5 0Với 11 73x+ y− = ⇒ =x +8 − +  8 ; 8 Kết luận: tập nghiệm của phương trỡnh là: 15 97 11 73 Chỳ ý : khi đó làm quen, chỳng ta cú thể tỡm ngay α β; bằng cỏch viết lại phương trỡnh ta viết lại phương trỡnh như sau: (2x−3)

²

= − 3x+ + +1 x 4khi đú đặt 3x+ = − +1 2y 3 , nếu đặt 2y− =3 3x+1 thỡ chỳng ta khụng thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của α cựng dấu với dấu trước căn. Một cỏch tổng quỏt . = + +f x A x B y m = +Xột hệ: ( ) . . (1)( ) '. ' (2)f y A x m để hệ cú nghiệm x = y thỡ : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tỡm được hàm ngược ^{y g x=}

( )

thay vào (1) ta được phương trỡnh Như vậy để xõy dựng pt theo lối này ta cần xem xột để cú hàm ngược và tỡm được và hơn nữa hệ phải giải được.Một số phương trỡnh được xõy dựng từ hệ.Giải cỏc phương trỡnh sau 1) 4x

²

−13x+ +5 3x+ =1 0 ⁴⁾

³

6x+ =1 8x

³

−4x−15) ¹⁵₂

(

^30x

²

^−4x

)

⁼²⁰⁰⁴

(

^{30060x+ +1 1}

)

2) 4x

²

−13x+ +5 3x+ =1 06)

³

3x− =5 8x

³

−36x

²

+53 25−81 8 2 23)

³

³

²

4x− = x − x + 3x−Giải (3): Phương trỡnh :^{⇔ 27 81}

³

^{x− =8 27x}

³

^−54x

²

^{+36x−54⇔ 27 81}

³

^{x− =8}

(

^3x−2

)

³

⁻⁴⁶Ta đặt : 3y− =2

³

81x−8Cỏc em hóy xõy dựng những phương trỡnh dạng này !III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dựng hằng đẳng thức : Từ những đỏnh giỏ bỡnh phương : A

²

+B

²

≥0, ta xõy dựng phương trỡnh dạng A

²

+B

²

=0Từ phương trỡnh

(

^{5x− −1 2x}

) (

²

^{+ 9 5− x−2}

)

²

^{+ x− =1 0} ta khai triển ra cú phương trỡnh :

( )

4x

2

+ +12 x− =1 4 x 5x− +1 9 5− x2. Dựng bất đẳng thức  ≥ ≤ nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cựng  Một số phương trỡnh được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: A mB mdạt được tại x

0

thỡ x

0

là nghiệm của phương trỡnh A B=1 2Ta cú : 1+ +x 1− ≤x 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x=0 và 1+ , dấu bằng khi và chỉ x 1+ + x ≥1 2008 1 2008 1khi x=0. Vậy ta cú phương trỡnh: 1+− + + = x + +x x 1 x =A f x ≥= ⇔  =A B B f x ≤Đụi khi một số phương trỡnh được tạo ra từ ý tưởng :

( )

( )B f x khi đú :

( )

 Nếu ta đoỏn trước được nghiệm thỡ việc dựng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng cú nhiều bài nghiệm là vụ tỉ việc đoỏn nghiệm khụng được, ta vẫn dựng bất đẳng thức để đỏnh giỏ được1 x x 9