A) HÀM NGÂN SÁCH CHI TIÊU
Câu 3:
a) Hàm ngân sách chi tiêu:
B = p
1
x
1
+p
2
x
2
Ph-ơng trình ràng buộc về lợi ích:
U = x
1
x
2
= u
0
(*)
Ycbt Tìm giá trị cực tiểu của hàm mục tiêu B với điều kiện ràng buộc (*).
Lập hàm Lagrange:
L = B + (u
0
- U)
L = (p
1
x
1
+p
2
x
2
) + (u
0
- x
1
x
2
) ( là nhân tử Lagrange)
Điều kiện cần:
Để B đạt giá trị cực tiểu thì:
'
L p x
0 0
(1)
x
1
2
1
(2)
2
(3)
u x x
'
0
1
2
L
Từ (1) và (2), ta có:
p p p x
(4)
1
2
1
1
x x x p
2
1
2
Từ (3) và (4), ta có:
x u p p
1
0
1
2
2
0
1
2
p u p p
Suy ra:
1
1
1
2
o
x
Hàm số có điểm dừng ( x
10
, x
20
,
0
) u p p
0
1
1
2
, u p p
0
1
2
1
, u p p
o
1
1
2
Điều kiện đủ:
Xét định thức:
0 U U
D U L L
1
11
12
U L L
2
21
22
Trong đó:
U U x ;
1
x
2
2
x
1
''
L L ;
L L ;
22
x x
0
11
x x
0
2 2
1 1
L L L ;
12
21
x x
1 2
Suy ra:
0
x x
2
1
0 2 0
( x x , , )
D x x x
x
Do đó, điều kiện đủ đ-ợc thỏa mãn tại điểm dừng ( x
10
, x
20
,
0
) .
Vậy, với ràng buộc lợi ích U=u
0
thì ngân sách chi tiêu cực tiểu khi
1
1
( x , x ) u p p
, u p p
.
10
20
0
1
2
0
1
2
8.8 .4 2
b) Với p
1
= 8; p
2
= 4; u
0
=8 thì
8.8.4 4
c) Nhân tử Lagrange
0
là giá trị cận biên của ngân sách chi tiêu cực tiểu theo lợi ích
B
min
. Mà
0
u p p
o
1
1
2
8 .8.4
1
2 . Nên
0
min
2
.
0
u
u
Vậy, nếu lợi ích u
0
tăng 1 dơn vị (u
0
=1) thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng 2 đơn vị
(B
min
=2).
d) Hệ số co giãn của ngân sách chi tiêu cực tiểu theo lợi ích:
.100%
% . .
B B B
u u
B
o
o
min
min
min
E u u u B B
u
% .100%
o
o
min
min
u
Do B
min
= p
1
x
10
+p
2
x
20
= 8.2 + 4.4 = 32 ; u
0
= 8 ;
0
= 2
E B
B
Nên
min
%
min
2. 8 0,5
% 32
Vậy, nếu lợi ích u
0
tăng 1% (%u
0
=1%) thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng 0,5%
(%B
min
=0,5%).
Bạn đang xem câu 3: - Đề thi Cao học trường Đại học kinh tế Quốc Dân năm 2012 - Môn Toán kinh tế (Có đáp án)
