CHO ĐƯỜNG TRÒN TÂM O, BÁN KÍNH R VÀ MỘT ĐƯỜNG THẲNG D KHÔNG CẮT...

Câu 4.

Cho đường tròn tâm

O

, bán kính

R

và một đường thẳng

d

không cắt đường tròn

( )

O

.

Dựng đường thẳng

OH

vuông góc với đường thẳng

d

tại điểm

H

. Trên đường thẳng

d

lấy

điểm

K

(khác điểm

H

), qua

K

vẽ hai tiếp tuyến

KA

và

KB

với đường tròn

( )

O

, (

A

và

B

là

các tiếp điểm) sao cho

A

và

H

nằm về hai phía của đường thẳng

OK

.

a) Chứng minh tứ giác

KAOH

nội tiếp được trong đường tròn.

b) Đường thẳng

AB

cắt đường thẳng

OH

tại điểm

I

. Chứng minh rằng

IA IB IH IO







và

I

là điểm cố định khi điểm

K

chạy trên đường thẳng

d

cố định.

c) Khi

OK



2 ,

R OH R



3

. Tính diện tích tam giác

KAI

theo

R

.

Lời giải

a) Ta có



KAO



90 (

^

KA AO



)

,



90 (

)

KHO



^

OH KH



Xét tứ giác

KAOH

có

KAO KBO

^{ }





180

^

nên là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có

^{ }

KBO KAO





180

^

nên

KAOB

là tứ giác nội tiếp và đỉnh

H B A

, ,

cùng nhìn cạnh

OK

dưới một góc vuông nên năm điểm

K A B O H

, , , ,

cùng thuộc đường tròn đường kính

OK

Xét tam giác

IAH

và tam giác

IOB

có

HIA BIO

^{ }



(đối đỉnh) và

^{ }

AHI ABO



(hai góc nội tiếp

cùng chắn cung

AO

). Do đó

IAH

IOB g g

( . )

IA

IO

IA IB IH IO

















.

IH

IB

Xét tứ giác

AOBH

có

OHB

^

là góc nội tiếp chắn cung OB,

OBA

^

là góc nội tiếp chắn cung OA;

Mà

OA OB R





nên

OHB OBA

^{ }



.

Xét



OIB

và



OBH

có

^

BOH

góc chung và

OHB OBA

^{ }



(cmt).

Do đó

OIB

OBH g g

( . )

OI

OB

OI

OB

²

R

²















.

OB OH

OH

OH

Ta lại có đường thẳng

d

cố định nên OH không đổi (

OH d



).

Vậy điểm

I

cố định khi

K

chạy trên đường thẳng

d

cố định.

c) Gọi

M

là giao điểm của OK và AB

Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB;

Lại có

OA OB R





nên OK là đường trung trực của AB, suy ra

AB OK



tại

M

và

MA MB



.

R

R

R

Theo câu b) ta có

²

²

OI



OH R





.

3

3

Xét



OAK

vuông tại

A

, có

2

2

OA

R

R

2

OA

OM OK

OM













OK

R

R

R

KM OK OM







R





Suy ra

2

³

2

3

3

2

3

R R

R

R

AM



OM KM



 





AM



2 2

4

2

Xét



OMI

vuông tại

M

, có

MI



OI



OM

















 

 

 



2

2

3

2

6

3

Suy ra

³

^{3 2}

³

AI AM MI











2

6

3

R R

R

Diện tích



AKI

là

¹

^{1 3 2}

³

²

³

S



AI KM



 





.

2

2 2

3

2





x y



