CHO CÁC SỐ THỰC DƯƠNG A, B THỎA MÃN A B   4 AB .CHỨNG MINH RẰ...

Bài 5. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a b   4 ab .Chứng minh rằng

1a b 

2

2

b  a 4 1 4 1 2

Bài giải

Cách 1.

Ta có 

ab



²

4abab(ab)1

Dấu bằng xảy ra khi

¹a b 2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 4ab    a b 2 ab  2 ab    1 1 4ab

Từ đó:

₂

a

₂

b

₂

a

₂

b a b

     

4b 1  4a 1  4b 4ab  4a 4ab  4b(a b)  4a(a b)

 

  

2

2

2

2

a b 1

1 1 1 a b a b

   

16a 16b 16 . a b a b

 



  

2

2 a b 2

Vì  ^{a  b} 

²

^{ 2 a} 

²

^{ b}

²

 ^  ^{a  b} 

²

^{ 0} luôn đúng

  

  

  

a b .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 4ab 1

a b 2

Cách 2.

Ta có 

^{a b}



²

^{4ab    a b a b}



^{a b}



²

01234-64-64-64 Thầy Hồng Trí Quang

Trang | 6

[email protected] HOCMAI THCS & Tiểu Học

a b

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy

a b(4

²

1); b a(4

²

1)

và

₂

;

₂

4 1 4 1

b  a 

 

           

ta có  4

²

4

²



2

2

^{ }

²

ab a a b b a b

b a

 

²

 

²

a b a b

1

    

       

4 1 4 1 4 ( ) ( ). ( ) ( ) . 2

b a ab a b a b a b a b

vậy

₂

₂

¹ 

dấu bằng xảy ra khi

¹

Bài tương tự

     

             

A :