Y X 2 VÀ ĐƯỜNG THẲNG  D

2) Cho Parabol (P) : y x

²

và đường thẳng

 

d : y mx 3.  a) Chứng tỏ

 

^d

^{luôn cắt}

 

^P

tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tọa độ các giao điểm

A

, B

của Parabol

 

^P

và đường thẳng

 

^d

^{khi m 2. Tính} diện tích AOB. c) Gọi giao điểm của

 

^d

^và

 

^P

^là

^C

^và

^D

^{. Tìm}

^m

để độ dài đoạn thẳng

CD

nhỏ nhất. Hướng dẫn giải a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của

 

^{d và}

 

^{P là:}

2

2

x mx 3 x mx 3 0  (1) Vì ^{a.c 1. 3}

 

^{    3 0} Phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Vậy

 

^d

^{luôn cắt}

 

^P

tại hai điểm phân biệt với mọi m. b) Với m 2 thay vào đường thẳng

 

d ta có: y 2x 3.  Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của

 

^{d và}

 

^{P là:}   

2

x 2x 3 0    x x 3x 3 0

   

    x x 1 3 x 1 0

y



^{x 1 x 3}

 

⁰   

9

B

  x 1 0

8

    x 3 0

7

  x 1

6

  x 3

5

4

Với ^{x    1 y 1 A 1;1}



^



3

Với ^{x 3   y 9 B 3;9}

 

A

Gọi C,D lần lượt là hình chiếu của B,A lên Ox.

1

  C 3;0 ; D 1;0

O

1

-1

-3

-2

3

D

C

x

Từ đó, ta có AD 1; BC 9; OD 1; OC 3; CD 4     D S .OD.AD .1.1OAD vuông tại

_OAD

1 1 1



   (đvdt) 2 2 2C S .OC.BC .3.9OBC vuông tại

_OBC

1 1 27 AD BC .CD 1 9 .4    (đvdt) Hình thang vuông

     

ABCD AD / /BC S 20

ABCD

2 2Vậy

_OAB

_ABCD

_OAD

_OBC

1 27S S S S 20 6



       (đvdt) c) Theo câu a, ta có

 

^d

^{luôn cắt}

 

^P

tại hai điểm phân biệt C và Dvới mọi m. Gọi tọa độ của C và D lần lượt là



x ; y và

1

1

 

x ;y . Các điểm

2

2



C và D thuộc đường thẳng

 

^{d : y mx 3  nên} y

1

mx

1

3; y

2

mx

2

3. Ta có CD



x

2

x

1

 

²

 y

2

y

1



²

. Do

C

và Dlà giao điểm của

 

^d

^và

 

^P

^nên x , x là nghiệm của phương trình:

1

2

Có  m

²

12 0, m     Giả sử x

₁

x

₂

thì

₁

m m

²

12

₂

m m

²

12x ; x .Khi đó x

2

x

1

 m

²

12; y

2

y

1

m x



2

x

1



m m

²

12. Suy ra ^CD

²

^m

²

^{12 m . m}

²



²

^12



^m

⁴

^13m

²

^{12 12, m } Do đó CD

_min

2 3m 0.