CHO (O) ĐƯỜNG KÍNH AB M, LÀ MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRÊN TIẾP TUYẾN TẠI ACỦA  O

Bài 4 (3,5 điểm): Cho (O) đường kính

AB M

,

là một điểm cố định trên tiếp tuyến tại

A

của

 

^O

^.

Vẽ tiếp tuyến

MC

và cát tuyến

MHK

(

H

nằm giữa

M

và

K

; tia

MK

nằm giữa hai tia

MB MO

,

). Các đường thẳng

BH BK

,

cắt đường thẳng

MO

tại

E

và

F

.

a) Chứng minh rằng tứ giác

AMCO

, tứ giác

MFKC

và tứ giác

MCHE

nội tiếp. b) Qua

A

kẻ đường thẳng song song với

MK

cắt

 

^O

^tại

^{I CI}

^,

^cắt

^MK

^tại

^N

^.

Chứng minh

NH



NK

.

M

c) Chứng minh

OE OF



.

Hướng dẫn giải

H

C

E

a) *) C/m tứ giác AMCO nội tiếp. Vì MA là tiếp tuyến của

 

^{O (gt)} nên MA AO MAO 90 . 

^o

N

A

O

B

Vì MC là tiếp tuyến của

 

^{O (gt)} nên MC CO MCO 90 . 

^o

K

Xét tứ giác AMCO có MAO MCO 90  

^o

90

^o

180 .

^o

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.

I

F

Suy ra tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn đường kính MO. *) C/m tứ giác

MFKC

nội tiếp. Ta có BKC là góc nội tiếp chắn cung BC của 

 

^{O nên BKC 1} 2sđ _BC. COB là góc ở tâm chắn cung BC của

 

^{O nên COB sđ BC.} 

 

  COB 2 BKC 1Vì MA,MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại Mcủa

 

^{O COM AOM } (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Mà AOM BOF  (đối đỉnh) COM BOF. Vì MCO vuông tại OCMO COM 90  

^o

2CMO 2COM 180 . 

^o

Hay 2CMO COM BOF 180 .    

^o

Lại có COM BOC BOF 180 .    

^o

BOC 2 CMO 2Từ (1) và (2) BKC CMO.  Mà BKC CKF 180  

^o

(hai góc kề bù) CMO CKF 180 .  

^o

Xét tứ giác MFKC có CMO CKF 180 cmt .  

^o

 

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.  Tứ giác MFKC nội tiếp. *) C/m tứ giác

MCHE

nội tiếp. Ta có CMO BKC cmt 

 

CME BKC.^{ } Lại có CHB BKC  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của

 

^{O )} CME CHB. Mà CHB CHE 180  

^o

(hai góc kề bù)  

^o

   CME CHE 180 .Xét tứ giác

MCHE

có CME CHE 180 cmt .  

^o

 

 Tứ giác

MCHE

nội tiếp. b) Vì AI / /MK gt

 

AIC HNC^{ } (đồng vị)   sđ ACMà  1AIC 2sđ AC (góc nội tiếp chắn cung AC )  1HNC 2Vì MA,MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại Mcủa

 

^O nên OM là phân giác của _AOC.  1 1   sđ AC. Mà  1HNC 2sđ AC (cmt) MOC AOC2 2MOC HNC Xét tứ giác MCNO có MOC HNC cmt 

 

. Mà hai góc này là hai góc của 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh MC của tứ giác MCNO .  Tứ giác MCNO nội tiếp. Lại có ^{MCO 90 cmt} ^

^o

 

^ Tứ giác MCNO nội tiếp đường tròn đường kính MO. 

^o

  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MO ) MNO 90hay ON HK   (quan hệ đường kính vuông góc với dây cung của

 

^{O .} NH NKLưu ý: Có thể hỏi theo hướng khác: Chứng minh rằng MN

²

ON

²

không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MHK. c) Vì ^{ONHK cmt}

 

^{ONM 90 . }

^o

Xét tứ giác AMNO có MAO MNO 90  

^o

90

^o

180 .

^o

 Tứ giác AMNO nội tiếp. AOM ANH   (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) ANH BOF Xét HNA và BOF có:  

 

^{ }ANH BOF cmt ; AHN OBF  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK của

 

^{O )}

 

^{AN OF}

 

  ∽   HNA BOF g.g 3HN OBCó BEO EMH EHM    (góc ngoài của MEH) Mà EHM BHK  (đối đỉnh)      (*) BEO EMH BHKCó OAN EMH  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON )          (do _{OAK BHK} _ (hai góc nội tiếp cùng chắn NAK NAO OAK EMH BHKcung BK) (**) Từ (*) và (**) BEO NAK  Xét BEO và KAN có: BEO NAK cmt ; EBO NKA  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

 

^{OE AN}BEO KAN g.gOB NK   Mà ^{NH NK cmt}

 

^{OE AN 4}

 

OB NH    (đpcm). OE OF.Từ (3) và (4) OF OEOB OBLưu ý: Ý c ta có thể trình bày theo cách khác mà không cần sử dụng kết quả của ý b như sau: Hướng dẫn: Gọi

 

^{G AC OM.} Ta có MG.MO MH.MK( MC ) 

²

Tứ giác GHKO nội tiếp.

G

Có AHB 90 

^o

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AHE 90 .

A

B

O

Có AHE AGE 90 .  

^o

 Tứ giác AEHG nội tiếp. Có EAH EGH OKH.                   EAO EAH HAO OKH HKB OKB OBK OBF.

 

      (đpcm). AOE BOF g.c.g OE OF.