P YX2 VÀ ĐƯỜNG THẲNG ( )
Bài 16:
Cho parabol
( ) :
P
y
x
2
và đường thẳng
( ) :
d
y
2(
m
3)
x
2
m
2
(
m
là
tham số).
a) Với
m
5
, tìm tọa độ giao điểm của parabol
( )
P
và đường thẳng
( )
d
b) Chứng minh rằng: với mọi
m
parabol
( )
P
và đường thẳng
( )
d
cắt nhau tại hai điểm
phân biệt. Tìm
m
sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương.
c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng
( )
d
luôn đi qua với mọi
m
Hướng dẫn giải
a) Với
m
5
( )
d
có phương trình
y
4
x
12
Hoành độ giao điểm của
( )
P
và
( )
d
là nghiệm phương trình:
x
x
x
x
x
x
x
2
2
6
4
12
4
12
0
(
6)(
2)
0
2
x
6
36
x
y
2
4
Vậy với
m
5
thì
( )
P
và
( )
d
cắt nhau tại hai điểm
( 6;36), (2; 4)
b) Hoành độ giao điểm của
( )
P
và
( )
d
là nghiệm phương trình:
2
2
2(
3)
2
2
2(
3)
2
2
0(1)
x
m
x
m
x
m
x
m
2
2
2
(
m
3)
(2
m
2)
m
4
m
11 (
m
2)
6
0
m
Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m suy ra
( )
P
và
( )
d
cắt nhau tại hai điểm
phân biệt
x x
1
;
2
là hai nghiệm của phương trình (1), áp dụng định lý Viet ta có:
2(
3)
x
x
m
1
2
x x
m
1 2
Hai giao điểm đó có hoành độ dương khi và chỉ khi
x
x
m
m
0
2(
3)
0
3
0
2
2
0
1
1
x x
m
m
m
Vậy với
m
1
thì
( )
P
và
( )
d
cắt nhau tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương.
c) Gọi điểm cố định mà đường thẳng
( )
d
đi qua với mọi
m
là
x y
0
;
0
ta có:
y
m
x
m
m
0
2(
3)
0
2
2
2
0
2
6
0
0
2
0
m
x
x
y
m
x
x
2
2
0
1
0
0
6
2
0
8
x
y
y
0
0
0
Vậy với mọi
m
thì đường thẳng
( )
d
luôn đi qua
(1;8)