CÂU III (1,0 ĐIỂM). ĐẶT U = 1 + √1 + 2X ⇔ X = U2−2U 2 ⇒ DX = (U − 1...

2 .

Câu III (1,0 điểm). Đặt u = 1 + √

1 + 2x ⇔ x = ^u

^−2u ₂ ⇒ dx = (u − 1) du.

Đổi cận x = 0 ⇒ u = 2; x = 4 ⇒ u = 4. Ta có:

4

Z

u ² − 2u + 2

du

u − 3 + 4

I = 1

u ²

u − 2

2

u ² (u − 1) du = 1

2

u ²

= 1

= 2 ln 2 − 1

u

2 − 3u + 4 ln |u| + 2

4

Câu IV (1,0 điểm).

Gọi H là trung điểm của BC. Tam giác ABC cân tại A và (ABC)⊥(SBC) nên

A

AH⊥BC ⇒ AH⊥(SBC). Khi đó HB, HC, HS lần lượt là hình chiếu của AB, AC, AS

trên (SBC) mà AB = AC = AS ⇒ HB = HC = HS ⇒ tam giác SBC vuông

M

tại S. Do đó BH = ¹ ₂ BC = ¹ ₂ √

a ² + x ² ⇒ AH = ¹ ₂ √

3a ² − x ² . Gọi M trung điểm

I

AB, kẻ M I⊥AB, I ∈ AH ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Lại có

B C

H

√ 3a ² − x ² = a ²

√ 3a ² − x ² . Vậy mặt cầu ngoại

∆AM I ∼ ∆AHB ⇒ AI = AB.AM

1

AH = a. ^a ₂

√ 3a ² − x ² .

tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = AI = a ²

S

Câu V (1,0 điểm). Theo bất đẳng thức Cauchy ta có (x + 2y) ² ≥ 8xy (2).

Từ giả thiết suy ra x + 2y = xy thay vào (2) được

(xy) ² − 8(xy) ≥ 0 ⇔ xy ≥ 8 (do x, y > 0)

——————

5

Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu

Ta có

P = x ²

4 + 8y + y ²

1 + x = x ²

4 + 8y + 4y ²

4 + 4x

Lại theo bất đẳng thức Cauchy có

s

x ² .4y ²

P ≥ 2

(4 + 8y)(4 + 4x) ≥ 8xy)

8 + 4(x + 2y) ≥ 8xy

5(x + 2y) ≥ 8

Dấu bằng xảy ra khi x = 4; y = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8