3. ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN TRONG PHẦN NÀ...

Question

9.3. ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN   Trong phần này ta sẽ sử dụng định lý Ptôlêmê để tính hàm số lượng giác của một số góc nhọn. Ví dụ 9. Tính  sin180 và  cos 360 (không dùng bảng số và máy tính) Giải.    Dựng tam giác cân  ABC  có A  72 ,  360  0ABC = ACB = BAC = . Đặt  BC = a ,AB = AC = b . Khi đó  ABC  = 2 BAC   nên theo ví dụ 7 có 2 2b - a = ab  ( AB = = c b ) Từ đó K2æ ö ÷ - +a a a+ - =  ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø + - =  = . 2 2 1 50 1 0a ab b2b b bBH = HC = a  và  BAH  = 180BH C  Kẻ  AH ^ BC . Khi đó = = = = -   BH aTừ đó  sin180 sin  5 1BAH AB b2 4Kẻ  BK ^ AC . Khi đó  AK = AB .cos BAK  = b .cos 360 và Trang 65  0 5 1 5 1 ( 5 1 )2.sin .sin18 .KC = BC KBC = a = - b - = b -   4 2 8+ =  =   Vì  AK + KC = AC  nên  0 ( 5 1 )2 0 5 1.cos 36 cos 36b b - b +8 4Ví dụ 10. Cho  a b ,  là các góc nhọn sao cho  a + b  là góc nhọn. Chứng minh công thức  sin( a + b ) = sin .cos a b + cos .sin a b     Bổ đề: Cho tam giác  ABC  có góc  A  nhọn, nội tiếp đường tròn  ( ; ) O R .  Khi đó  a = 2 .sin R A   (định lý hàm số Sin).  Chứng minh: Vẽ đường kính  BD . Khi đó  BCD  = 900 và  BDC  = BAC Trong tam giác vuông  BDC  có  BC = BD .sin BDC   = a 2 .sin R A . ABO DaO CCDGiải. Trên đường tròn  ( ) O , đường kính  AC = 2 R = 1  lấy các điểm  B D ,  sao cho  , BAC = a CAD = b .  Khi đó  ABC  = ADC  = 900 nên  ACB  = 900 - a  và  ACD  = 900- b .  Áp dụng bổ đề,  AB = 2 sin(90 R 0 - a ) = cos a . Tương tự AD = cos bHơn nữa,  AC = 2 R = 1, BD = 2 sin( R a + b ) = sin( a + b ) ,  BC = sin , a CD = sin b . Áp  dụng  định  lý  Ptôlêmê  cho  tứ  giác  nội  tiếp  ABCD   có . . .AC BD = BC AD + CD AB  hay  sin( a + b ) = sin .cos a b + cos .sin a b . Lưu ý:  a,  Nếu  bạn  đọ  biết  thêm  rằng  sin 900 = 1   và  b   là  góc  tù  thì sin b = sin(1800 - b ) , bạn sẽ thấy Định lý hàm số Sin vẫn đúng đối với tam giác  ABCtùy ý (không cần giả thiết tam giác nhọn). b,  Công  thức  sin( a + b ) = sin .cos a b + cos .sin a b   gọi  là  công thức cộng cung. Thực  ra  công  thức  này  đúng  với  a b ,   tùy  ý.  Áp  dụng  thức 2 2 2 2cos a = - 1 sin a , cos b = - 1 sin b , cos (2 a + b ) = - 1 sin (2 a + b ) nhận  được cos( a + b ) = cos .cos a b - sin .sin a b .  Khi  a = b   ta  nhận  được  công  thức  nhân  đôi sin 2 a = 2 sin .cos a a  và  cos 2 a = cos2a - sin2a .

Answer

9.3. ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN   Trong phần này ta sẽ sử dụng định lý Ptôlêmê để tính hàm số lượng giác của một số góc nhọn. Ví dụ 9. Tính  sin180 và  cos 360 (không dùng bảng số và máy tính) Giải.    Dựng tam giác cân  ABC  có A  72 ,  360  0ABC = ACB = BAC = . Đặt  BC = a ,AB = AC = b . Khi đó  ABC  = 2 BAC   nên theo ví dụ 7 có 2 2b - a = ab  ( AB = = c b ) Từ đó K2æ ö ÷ - +a a a+ - =  ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø + - =  = . 2 2 1 50 1 0a ab b2b b bBH = HC = a  và  BAH  = 180BH C  Kẻ  AH ^ BC . Khi đó = = = = -   BH aTừ đó  sin180 sin  5 1BAH AB b2 4Kẻ  BK ^ AC . Khi đó  AK = AB .cos BAK  = b .cos 360 và Trang 65  0 5 1 5 1 ( 5 1 )2.sin .sin18 .KC = BC KBC = a = - b - = b -   4 2 8+ =  =   Vì  AK + KC = AC  nên  0 ( 5 1 )2 0 5 1.cos 36 cos 36b b - b +8 4Ví dụ 10. Cho  a b ,  là các góc nhọn sao cho  a + b  là góc nhọn. Chứng minh công thức  sin( a + b ) = sin .cos a b + cos .sin a b     Bổ đề: Cho tam giác  ABC  có góc  A  nhọn, nội tiếp đường tròn  ( ; ) O R .  Khi đó  a = 2 .sin R A   (định lý hàm số Sin).  Chứng minh: Vẽ đường kính  BD . Khi đó  BCD  = 900 và  BDC  = BAC Trong tam giác vuông  BDC  có  BC = BD .sin BDC   = a 2 .sin R A . ABO DaO CCDGiải. Trên đường tròn  ( ) O , đường kính  AC = 2 R = 1  lấy các điểm  B D ,  sao cho  , BAC = a CAD = b .  Khi đó  ABC  = ADC  = 900 nên  ACB  = 900 - a  và  ACD  = 900- b .  Áp dụng bổ đề,  AB = 2 sin(90 R 0 - a ) = cos a . Tương tự AD = cos bHơn nữa,  AC = 2 R = 1, BD = 2 sin( R a + b ) = sin( a + b ) ,  BC = sin , a CD = sin b . Áp  dụng  định  lý  Ptôlêmê  cho  tứ  giác  nội  tiếp  ABCD   có . . .AC BD = BC AD + CD AB  hay  sin( a + b ) = sin .cos a b + cos .sin a b . Lưu ý:  a,  Nếu  bạn  đọ  biết  thêm  rằng  sin 900 = 1   và  b   là  góc  tù  thì sin b = sin(1800 - b ) , bạn sẽ thấy Định lý hàm số Sin vẫn đúng đối với tam giác  ABCtùy ý (không cần giả thiết tam giác nhọn). b,  Công  thức  sin( a + b ) = sin .cos a b + cos .sin a b   gọi  là  công thức cộng cung. Thực  ra  công  thức  này  đúng  với  a b ,   tùy  ý.  Áp  dụng  thức 2 2 2 2cos a = - 1 sin a , cos b = - 1 sin b , cos (2 a + b ) = - 1 sin (2 a + b ) nhận  được cos( a + b ) = cos .cos a b - sin .sin a b .  Khi  a = b   ta  nhận  được  công  thức  nhân  đôi sin 2 a = 2 sin .cos a a  và  cos 2 a = cos2a - sin2a .