2. Chú ý
* Định lý vẫn đúng với đối với đường phân giác góc ngoài của tam giác.
ABC AB AC EB AB
.
EC AC
BAE CAE
* Các định lý trên có định lý đảo
DB AB
DC AC AD là đường phân giác trong của tam giác.
EB AB
EC AC AE là đường phân giác ngoài của tam giác.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
A.DẠNG BÀI CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng và sử dụng kĩ thuật đại
số hóa hình học.
Áp dụng định lí Py-ta-go.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB 5 , cm BC 7 cm và CA 6 cm . Tia phân giác của góc BAC
A
cắt cạnh BC ở E . Tính các đoạn EB EC , .
Lời giải (hình 286)
6 5
Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC
và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
C E D
EB EC EB EC BC
Hình 286
,
BA CA BA CA BA CA
EB EC EB cm EC cm .
Hay 7 35 ( ); 42 ( )
5 6 11 11 11
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông ở A , đường phân giác BD . Tính AB BC , biết AD 4 cm và
DC cm .
5
Lời giải (hình 287)
Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào tam giác ABC , ta được:
4
D
AB t
4 4
AB DA
4t
(với t 0 ).
BC t
5 5
BC DC
B C
5t
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông ở A , ta được:
Hình 287
BC CA AB hay (5 ) t
2 9
2 (4 ) t
22 2 22 2(3 ) t 9 3 t 9 t 3
(vì t 0 ).
Vậy AB 12( ); cm BC 15( ) cm .
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có BC 24 , cm AC 3 AB . Tia phân giác của góc ngoài tại A cắt
đường thẳng BC ở E . Tính độ dài EB .
Lời giải (hình 288)
Áp dụng tính chất của đường phân giác ngoài AE vào tam giác ABC , ta được:
1
EB BA BA EB EC
EC CA BA .
3 3 1 3
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
EB EC EC EB BC cm
24 12( )
1 3 3 1 2 2
24cm
E C
B
Vậy EB 12 cm .
Hình 288
DẠNG 2.Tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác
Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.
Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học. Công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện
tích tam giác.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM . Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh
AB ở D , tia phân giác của góc AMC cắt các cạnh AC ở E . Chứng minh rằng DE BC .
Lời giải (hình 289)
Từ giả thiết AM là trung tuyến, đặt BM MC a .
D E
Áp dụng tính chất của đường phân giác MD và ME vào hai tam giác
AMB và AMC , ta được:
1 2 3 4
M
AD AM AM
Hình 289
AD AE
DB MB a
.
AE AM AM DB EC
EC MC a
Điều này chứng tỏ đường thẳng DE cắt hai cạnh AB và AC của tam
giác ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên DE BC (theo định
lí Ta-lét đảo).
Ví dụ 2.
a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và phân giác AD . Tính diện tích tam giác
ADM biết AB m AC n , ( n m ) .
b) Cho n 7 , cm m 3 cm . Hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích
tam giác ABC ?
Lời giải (hình 290)
S DM
m n
a) Ta có
ADMS BC hay S
ADM DM . S
BC
ABC(vì chung chiều cao kẻ từ A đến BC , với S S
ABC).
C
D M
Hình 290
Ta còn phải tính tỉ số DM BC : .
Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC ,
ta được:
DB mt
DB BA m
(với t 0 ).
DC nt
DC CA n
BM BC .
Do đó BC DB DC ( m n t ). , nên: 1 ( )
2 m n t 2
( ) ( )
m n t mt n m t
DM BM BD
.
2 2
n m t n m
DM BC m n t
Suy ra tỉ số : ( ) : ( )
2 2( )
.
S S
.
Vậy .
2( )
ADM n m
m n
b) Với n 7 , cm m 3 cm thì 7 3 . 0,2. 20%
S
ADM S S S
2(7 3)
Điều này chứng tỏ diện tích tam giác ADM chiếm 20% diện tích tam giác ABC .
AD EA
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , các đường phân giác BD và CE . Biết 2 ; 5
3 6
BC EB . Tính các
cạnh của tam giác ABC , biết chu vi tam giác bằng 45cm .
Lời giải (hình 291)
Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE vào tam giác ABC , ta được:
2 4 4
AB AD
(với t 0 );
3 6 6
2
BC BC
E D
AC t
AC AE
.
3
6
6 6
BC EB
Từ giả thiết chu vi của tam giác ABC bằng 45cm , ta có:
Hình 291
45 AB BC CA 4 t 6 t 5 t 15 t t 3 .
Vậy AB 12 ; cm BC 18 ; cm CA 15 cm .
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN
Bạn đang xem 2. - Chuyên đề tính chất đường phân giác của tam giác -
