RABC =RBCD =RCDA =RDAB BB'VẼ CÁC HÌNH BÌNH HÀNH ABB C ADD C' , ' SUY RA TỨ CGIÁC BB D C' ' LÀ HÌNH BÌNH HÀNH
Bài 7. Giả sử:
r
ABC
=
r
BCD
=
r
CDA
=
r
DAB
B
B'
Vẽ các hình bình hành
ABB C ADD C
' ,
'
suy ra tứ
C
giác
BB D C
'
'
là hình bình hành.
A
E
Do đó:
∆
ABC
= ∆
B CB
'
;
∆
ADC
= ∆
D CD
'
D'
D
.503 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
⇒
r
ABC
=
r
B CB
r
ADC
=
r
D CD
'
;
'
Mặt khác:
∆
ABD
= ∆
CB D
'
'(c.c.c)
⇒
r
ABD
=
r
CB D
'
'
Theo giả thiết:
=
=
=
⇒
=
=
=
r
r
r
r
r
r
r
r
'
'
'
'
ABC
BCD
CDA
DAB
B CB
CB D
D CD
CBD
Gọi
E
là giao điểm của
BD
'
và
DB
'
. Ta chứng minh
C
≡
E
.
Giả sử
C
khác
E
⇒
E
thuộc vào một trong 4 tam giác
EBD EBB EB D ED D
,
',
'
',
'
.
Giả sử
C
thuộc vào miền tam giác
BDE
⇒
r
BCD
=
r
BED
=
r
B ED
'
=
r
CB D
'
'
(vô lý).
Điều vô lí chứng tỏ
E
trùng với
C
⇒
B C D
, ,
'
thẳng hàng và
D C B
, ,
'
thẳng hàng.
Ta có:
D C
'
//
AD
⇒
BC
//
AD
Vì :
CB
' //
AB
⇒
DC
//
AB
Suy ra
ABCD
là hình bình hành.
Xét tiếp:
1
S
S
S
(vì
ABCD
là hình bình hành).
ABD
ADC
ABCD
=
=
2
+
+
+
+
⇔
ABD
AB
BD
DA
=
ADC
AD
DC
CA
⇔
+
+
=
+
+
⇔
=
.
.
r
r
AB
BD
DA
AD
DC
CA
BD
CA
2
2
Vậy
ABCD
là hình chữ nhật.