AKE FOC BIGỌI K LÀ ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA I QUA EF

4.2 .

A

K

E

F

O

C

B

I

Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF . Xét trường hợp điểm K trùng với điểm A .Khi đó KI là dây cung của (O).Mà EF là đường trung trực của KI suy ra EF đi qua O . Xét trường hợp điểm K không trùng với A .Ta có

CIF



BIE



180

⁰



EIF



BIC



180

⁰

Do có tứ giác ABIC nội tiếp nên suy ra

BAC



BIC



180

⁰

.Từ đó ta có

BAC



EIF



EAF



EIF

Mà EKFEIF (do I và K đối xứng nhau qua EF).Ta suy ra EKFEAF hay bốn điểm A,K,E,F cùng thuộc một đường tròn . Khi đó ta thu được hoặc tứ giác AKEF nội tiếp hoặc tứ giác AKFE nội tiếp .Không mất tính tổng quát ,ta giả sử AKFE nội tiếp .Ta suy ra KAFKEF (cùng chắn cung KF ) suy ra KABKEF (1). Mà IEF KEF (do I và K đối xứng nhau qua EF) (2) . Mặt khác IEF BIK (cùng phụ với gócKIE(3).Từ (1) ,(2) và (3) ta suy ra KABBIK .Suy ra AKBI nội tiếp suy ra K nằm trên (O).Khi đó KI là dây cung của (O).Mà EF là đường trung trực của KI nên suy ra E,O,F thẳng hàng .Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định