(3,0 ĐIỂM) CHO HAI ĐƯỜNG TRÒN ( )O VÀ  O CẮT NHAU TẠI HAI...

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho hai đường tròn ( )

O

và

 

^O

^

cắt nhau tại hai điểm

A

và

B

. Tiếp tuyến tại

A

của đường tròn tâm

O

cắt đường tròn tâm

O

^

tại (

P P



A

)

. Tiếp tuyến tại

A

của đường tròn tâm

O

^

cắt đường tròn tâm

O

tại (

Q Q



A

)

. Gọi

I

là điểm sao cho tứ giác

AOIO

^

là hình bình hành và

D

đối xứng với

A

qua

B

.

a) Chứng minh rằng

I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A P Q. Từ đó suy ra tứ giác A D P Q nội

tiếp?

b) Gọi

M

là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh

 ADP QDM

.

c) Giả sử hai đường thẳng

IB

và

PQ

cắt nhau tại

S

. Gọi

K

là giao điểm của

AD

và

PQ

. Chứng

minh:

2



1



1

SK

SP

SQ

.

Bài giải

a) Ta có: OAAP mà IO

^

/ /OAIO

^

 API

^

nằm trên đường trung trực của APIA IP . Chứng minh tương tự ta cũng có:

IA IQ



. Từ đó suy ra:

IA IP





IQ



I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

APQ

. Gọi

E F

,

lần lượt là giao điểm của

OO

^

với AB và AI. Ta có: Dễ thấy

E F

,

lần lượt là trung điểm của AB và AIEF là đường trung bình của tam giác ABI. Suy ra EF/ /BI hay OO BI/ / . Do đó BIAB tại B. Từ đó IB là đường trung trực của ADIA ID . Do đó tứ giác

ADPQ

nối tiếp. b) Ta có: ^{    1 }QPD QAD QAB APB    2AO B AO O

^



^

, hay QPD AO O^{ }

^

Chứng minh tương tự ta cũng có:

^{ }

PQD



AOO

^

. Từ đó suy ra AOO

^

#DQPMà M là trung điểm của

PQ

và F là trung điểm của OO

^

QDM OAF^{ } . Mặt khác ^ADP^{1  }AIP AIO

^

OAF. c) Theo chứng minh trên ta có: QPD QAB^{ } . Mặt khác DQP DAP AQB^{  }  , hay DQP AQB^{ }Từ đó suy ra



AQB

#



PQD

. Suy ra:

     













  

QBI IPQ QBA ABI IPQ QDP

IPQ

90



  

 



 







QPD

QIP

QPD QDP

90

180

180

180





 

2

Do đó tứ giác

QBIP

nội tiếp. Suy ra:

SQ SP SB SI







Vì M là trung điểm của đoạn

PQ



IM



PQ



tứ giác BKMI nội tiếp. Suy ra: SK SM SB SI    Tu đó ta suy: SQ SP SK SM ^{1 SM}SK SQ SPMà

SM



SP MP SP MQ SP











(

SM



SQ

)



SP SQ SM







SP SQ





2

SM

        Nên ta có: ^{1 SM 2 2SM 2 SQ SP 2 1 1}  SK SQ SP SK SQ SP SK SQ SP SK SQ SP