(3,5 ĐIỂM) CHO TAM GIÁC ABC CÓ ACB 90    NỘI TIẾP TRONG...

Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ACB 90    nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi M là trung

điểm BC , đường thẳng OM cắt cung nhỏ BC  tại D , cắt cung lớn BC  tại E . Gọi F là chân đường

vuông góc hạ từ E xuống AB , H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE .

a. Chứng minh rằng tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh rằng MF AE  .

c. Đường thẳng MF cắt AC tại Q . Đường thẳng EC cắt AD , AB lần lượt tại I và K . Chứng minh

rằng EQA 90    và EC EK

IC  IK .

Lời giải:

a. Tứ giác BEHF có hai đỉnh H , F kề nhau

cùng nhìn đoạn BE dưới một góc 90 nên nội

tiếp đường tròn đường kính BE .

b. Vì M là trung điểm của BC nên OM  BC .

Tứ giác BEFM có hai đỉnh F , M kề nhau cùng

nhìn đoạn BE dưới một góc 90 nên nội tiếp

đường tròn đường kính BE . Do đó BFM BEM   

(cùng chắn BM  )   ¹ . Ngoài ra, trong   ^{O , ta có}

BAD BED    (cùng chắn AD  )   ^{2 .}

Từ   ^{1 và}   ^{2 suy ra   BFM BAD } , mà hai góc

này ở vị trí đồng vị nên AD // MF .

Ta có DAE 90    vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AD AE  . Từ đó suy ra MF AE  .

3

c. Ta có ED là đường trung trực của BC nên EB EC    ^{3 , do đó CBE BAE   } . Ngoài ra

CBE QAE    (tứ giác ACBE nội tiếp). Từ đó suy ra QAE FAE    . Tam giác AQF có đường cao từ A

đồng thời là đường phân giác nên  AQF cân tại A và AE là đường trung trực của QF .

Vì ^{ AQE   AFE c.c.c}   ^{nên EQA EFA 90      .}

Ta có D là điểm chính giữa của BC  nên CAD BAD    hay AI là phân giác của CAK  . Suy ra

IC AC

IK  AK   ^{4 .}

Vì  EKB AKC g.g #    nên EB AC

EK  AK   ^{5 .}

Từ   ^{3 ,}   ^{4 và}   ^{5 ta được EC IC}

EK  IK hay EC EK