CHỨNG MINH (CM) LUƠN TIẾP XÚC VỚI HAI ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH

Bài 2:

m x m m− − − +

m

:C y= −

. Chứng minh (C

m

) luơn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.

Cho

( ) (

²

) (

²

^{2 4}

)

x m

Giải:

( ) (

²

) (

²

^{2 4}

)

⇔ = − −= − ^y

(

^{m 2}

)

⁴x m−

(C

m

) luơn tiếp xúc với đường thẳng

( )

^{∆ :y=ax b+}⇔

Hệ phương trình sau cĩ nghiệm

∀m

:

 − − = +2 4 1

( ) ( )

m ax b −I4 2 =a

2

( ) ( ) ( )

 −

◊ Nhân 2 vế của phương trình (2) cho: x-m

4 a x m 3⇒ = −

◊ Lấy (1)-(3):

⇔ − − = + ⇔ − = − + +

(

^{m 2}

)

^{8 b am 8}

(

^{a 1}

)

^{m b 2}

( )

⁴x m x m− −

◊ Thay (4) vào (2):

(

^{a 1}

)

^m

(

^{b 2}

)

²

^16a⇔ − + +  =

(

^{a 1}

)

²

^m

²

²

(

^{a 1}

)(

^{b 2}

)

^m

(

^{b 2}

)

²

^{16a 0}

( )

^*⇔ − + − + + − − =

Hệ (1) cĩ nghiệm

∀m ^⇔

( )

^*

^đúng

^∀m

^:

 − =

( )

1 0  =⇔ − + = ⇔2 1 2 0 1a b a

( )( )

b b2 6= ∨ = − 2 16 0b a+ − =

Vậy (C

m

) luơn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định y=x+2 và y=x-6

Bài tập tự luyện

1.

Cho hàm số

¹

³

(

¹

)

²

²

(

²

)

¹y= x − m+ x + m +m x−

. Định m để hàm số:

3 3

a)

Tăng trên R

b)

Giảm trên (0;1)

c)

Tăng trên (-∞;2)

d)

Giảm trên đoạn cĩ độ dài bằng

3

e)

Tăng trên 2 khoảng (-∞;0) và (2; +∞)

2.

Cho hàm số

(

^C

^m

)

^:y=x

³

^+3mx

²

⁺³

(

^−m

²

^+m+1

)

^x+m

³

⁺¹

. Tìm m để:

a)

(C

_m

) cĩ điểm cực đại nằm trên x=5

b)

Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại những điểm cĩ hồnh độ >1

14x x+ =−

c)

Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x

₁

và x

₂

sao cho:

¹

²

5

2

1

3.

Cho hàm số

(

C

m

)

^:y=x

³

−³x+²

.

a)

Viết phương trình tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất

b)

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua M(1;0)

c)

Tìm trên Ox những điểm mà từ đĩ kẻ được trên C đúng:

◊ một tiếp tuyến

◊ hai tiếp tuyến

◊ Ba tiếp tuyến

◊ hai tiếp tuyến vuơng gĩc với nhau

d)

Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm mà từ đĩ kẻ được trên C đúng:

◊ một tiếp tuyến

◊ hai tiếp tuyến

◊ Ba tiếp tuyến

e)

Tìm trên (C) những điểm mà từ đĩ kẻ được trên C đúng 1 tiếp tuyến.

4.

Cho hàm số

(

C

m

)

^:y=x

⁴

−²mx

²

+²m−¹

. Tìm m để (C

m

) cắt Ox tại bốn diểm phân biệt cĩ hồn độ lập

thành cấp số cộng.

5.

Xác định m để phương trình cĩ nghiệm duy nhất:

x

³

+mx

²

− =1 0

6.

Cho hàm số

(

^C

^m

)

^:y=x

³

^−3mx

²

⁺³

(

^m

²

⁻¹

)

^x−m

³

. Tìm m để (C

_m

) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt trong đĩ

cĩ đúng 2 điểm cĩ hồnh độ âm.

7.

Cho hàm số

(

C

m

)

^:y=x

³

+k x

(

+¹

)

+¹

. Tìm k để (C

_k

) tiếp xúc với đường thẳng

( )

^{∆ :y= +x 1}

8.

Cho hàm số

(

C

m

)

^:y=x

³

−³mx

²

+⁴m

³

. Tìm m để (C

_m

) cắt đường thẳng

( )

^{d :y=x}

tại A,B,C sao cho

AB=BC.

= +C y x

9.

Cho hàm số

( )

^{: 2 1}+

. Chứng tỏ rằng đường thẳng y=-x+m luơn luơn cắt đồ thị tại hai điểm

x

m

2

phân biệt AB. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất.

3 1

2

+ − +

10. Cho hàm số

( ) ( )

: 1= +

. Trong đĩ m là tham số khác 0:

m

a)

Tìm những điểm mà đồ thị khơng đi qua

∀m

.

b)

Chứng minh rằng đồ thị của (1) luơn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định.

11.

Cho hàm số

(

C

m

)

^:y=

(

m+³

)

x

³

−³

(

m+¹

)

x

²

−

(

⁶m+¹

)

x+m+¹

( )

¹

. Chứng minh rằng họ đồ thị (C

_m

)

luơn luơn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.

30

Bài VI: Một số dạng tốn khác cần lưu ý.

I/ Giới hạn:

Dạng tốn này đã từng xuất hiện trong đề thi đại học từ rất lâu (năm 2002 – 2003) Tuy nhiên đã rất lâu

khơng thấy xuất hiện trong đề thi đại học. Tuy nhiên ta cũng nên chú ý đến dạng tốn này.

Ở đâu tơi xin trình bày phương pháp tổng quát để làm bài dạng này là “ Gọi số hạng vắng bằng hệ số bất

định”.

3

3

2

− − +5 7lim

^x

1