BÀI 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1:
Trong Oxyz cho:
1
3zz t1a)
Tính khoảng cách giửa d
1
và d
2
.
b)
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song với d
2
.
Giải:
Để sử dụng chức năng vectơ của máy ta nhấn: MODE + 8 (vector)
Chọn vectơ A máy hỏi ta chọn hệ vectơ nào (Vct A(m) m?)
Chọn 1:3
Nhập tọa độ vecto chỉ phương của d
1
. (2;1;0) Nhấn tiếp Shift + STO + B để copy các thơng số của vextơ
A vào vectơ B.
Sửa tọa độ của vectơ B thành (0;1;-1)
Ta cĩ
M(2; 1; 0)− ∈d1
; N(
1;1;3)
∈d2
⇒MN(
−1; 2;3)
(Bước này ghi ra giấy)
Nhấn Shift+5(vector)
Nhấn 1 (Dim)
3(Vct C) sau đĩ nhập thơng số của vector
MN(
−1; 2;3)
d d MNA B C; .
1
2
a)
Theo cơng thức:
(
)
= dlà các vec tơ được lưu trong máy
tương ứng với:
;
d d
;A B;d dtính.
Để tính tích cĩ hướng của hai vectơ
A&Bta nhấn: ON
Shift+5
3(vct A)
x
Shift+5
4
=
Để tính độ dài vector ta dùng chức năng ABS(. bằng cách nhấn phím Shift+hyp
Để tính tích vơ hướng
A&Bcủa ta nhấn ON
Shift+5
3(vct A)
Shift+5
7:●(dot)
Shift+5
4(vct
B)
=
Vậy nên để tính độ dài cần tìm ta soạn vào màn hình máy tính như sau:
(Abs((VctAxVctB)●VctC))÷(Abs(VctAxVctB))Kết quả máy hiện:
113.
b)
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song với d
2
:
Việc đầu tiên cần làm đĩ là ta phải tìm 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α. gọi vector pháp tuyến
⊥ = = ⊥a d ;d A d Bcần tìm là
ata thấy:
1
(
1
2
)
a d2
Nên
acần tìm là
d d1
;2
bằng máy tính ta làm như sau:
. Để tìm
aON
Shift+5
3(vct A)
x
Shift+5
4
=
Màn hình soạn thảo hiện như sau:
VctAxVctBnhấn phím = để xem kết quả
Máy hiện: Vct Ans (-1;2;2)
Vậy
a= −(
1; 2; 2)
. Mp
( )
αđi qua M(2;-1;0)
Nên
( )
α :−(
x−2)
+2(
y+1)
+2( )
z =0⇔ − +x 2y+2z+ =3 0Thí sinh chỉ cần gi các bước làm vào bài làm, cơng việc cịn lại hãy để cho máy tính. Ta thấy hồn thành 1
bài hình học giải tích trong đề thi thật nhẹ nhàng.
Các bạn cĩ thể thử làm các bài tốn cĩ lời giải trong sách giáo khoa hình học 12 hay trong các sách tham
khảo bằng chiếc máy tính của mình. Sẽ cĩ nhiều bất ngờ đang chờ các bạn khám phá!
SƠ ĐỒ HORNER VÀ ỨNG DỤNG:
Chia đa thức
P x( )
=a x0
n
+a x1
n
−
1
+....+an
cho
(
x c−)
ta cĩ:
( ) ( ) (
0
n
1
1
n
2
....n
1
n
)
P x = x c b x−−
+b x−
+ +b−
x b+Trong đĩ
b ii
(
=0;1; 2;3;...;n)
định bội sơ đồ Horner:
a
0
a
1
a
2
a
3
…
c
b
0
b
1
=cb
0
+ a
1
b
2
=cb
1
+ a
2
b
3
=cb
2
+ a
3
b
i
=cb
i-1
+ a
i
Áp dụng:
VD1.
Tính thương và số dư trong phép chia:
( )
24
3
82
6P x = x +x − x − +xcho x+2
Ta cĩ sơ đồ Horner:
2
1
-8
-1
6
-2
2
-3
-2
3
0
Vậy
P x( ) (
= x+2 2) (
x3
−3x2
−2x+3)
+0Đến đây, chúng ta đã hiểu phần nào cơng dụng của sơ đồ horner. Trong bài tốn liên quan đến tham
số, việc tìm được nghiệm cố định và phân tích thành tích sẽ làm cơng việc giải tốn nhẹ nhàng rất
nhiều. Nghiệm cố định đã cĩ máy tính, cịn việc chia đa thức: Hãy để sơ đồ Horner làm cho bạn.
Ta quay lại với ví dụ đầu phần phụ lục:
VD2.
Phân tích thành tích:
2x3
−3(
a+1)
x2
+6ax− =4 0( )
1( )
3
2
2x −3 a+1 x +6ax− =4 0Ta đã cĩ được nghiệm cố định x=2. vậy nên
2
-3(a+1)
6a
-4
2
2
-(3a-1)
2
0
Vậy (1)
⇔(
x−2)
2x3
−(
3a−1)
x+2=0Đây chính là một phần trong bài làm ở Bài3 ở trang 35.
VD3.
Định m để phương trình:
mx3
−(
3m−4)
x2
+(
3m−7)
x−m+ =3 0( )
Acĩ 3 nghiệm dương phân biệt.
16
Ta dễ dàng nhận ra: a+b+c+d=0
⇒phương trình (A) cĩ 1 nghiệm x=1
Sơ đồ Horner:
m
-3m-4
3m+7
-m+3
1
m
-2(m-2)
m-3
0
Nên
( )
A ⇔(
x−1)
mx2
−2(
m−2)
x+m−3=0(A) Cĩ 3 nghiệm dương phân biệt
⇔ g x( )
=mx2
−2(
m−2)
x+m− =3 0cĩ hai nghiệm dương phân
biệt đều khác 1
m0 ≠∆ = − − − >( ) ( )
' 2 3 0m m m −⇔ = >2 0S m(
; 0) (
3; 4)
⇔ ∈ −∞ ∪3 0P m −= >g m m m1 2 2 3 0= − − + − ≠VD4.
Định m để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt:
3
1 1 0 1x − −m x− =( )
1 ⇔x3
−mx+m−1Dùng máy tính ta “mị” được nghiệm: x=1
1
0
-m
m-1
1
1
1
1-m
0
Vậy (1)
⇔(
x−1) (
x2
+ + −x 1 m)
=0(1) Cĩ 3 nghiệm phân biệt:
g x( )=x2
+ + −x 1 m=0cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1
∆ = − > 4 3 0 3 3 > m m4 3g m m⇔ ⇔ ⇔ < ≠ ≠= + + − ≠1 1 1 1 0 4Sơ đồ Horner ứng dụng rất nhiều trong giải tốn, nhất là dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số.
Các bạn nên tập sử dụng sơ đồ này một cách thuần thục. Bài tập áp dụng tơi sẽ nêu lên 2 bài dạng
chia đa thức nhằm giúp các bạn hồn thiện kĩ năng.
BÀI TẬP: