BÀI 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1:

Trong Oxyz cho:

1

3zz t1

a)

Tính khoảng cách giửa d

1

và d

2

.

b)

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d

1

và song song với d

2

.

Giải:

Để sử dụng chức năng vectơ của máy ta nhấn: MODE + 8 (vector)

Chọn vectơ A máy hỏi ta chọn hệ vectơ nào (Vct A(m) m?)

Chọn 1:3

Nhập tọa độ vecto chỉ phương của d

1

. (2;1;0) Nhấn tiếp Shift + STO + B để copy các thơng số của vextơ

A vào vectơ B.

Sửa tọa độ của vectơ B thành (0;1;-1)

Ta cĩ

M(2; 1; 0)− ∈d

1

; N

(

1;1;3

)

d

2

MN

(

1; 2;3

)

(Bước này ghi ra giấy)

Nhấn Shift+5(vector)

Nhấn 1 (Dim)

3(Vct C) sau đĩ nhập thơng số của vector

MN

(

1; 2;3

)

 d d MNA B C; . 

1

2

a)

Theo cơng thức:

(

)

=  d

là các vec tơ được lưu trong máy

tương ứng với:

;

d d

;A B;d d

tính.

Để tính tích cĩ hướng của hai vectơ

A&B

ta nhấn: ON

Shift+5

3(vct A)

x

Shift+5

4

=

Để tính độ dài vector ta dùng chức năng ABS(. bằng cách nhấn phím Shift+hyp

Để tính tích vơ hướng

A&B

của ta nhấn ON

Shift+5

3(vct A)

Shift+5

7:●(dot)

Shift+5

4(vct

B)

=

Vậy nên để tính độ dài cần tìm ta soạn vào màn hình máy tính như sau:

(Abs((VctAxVctB)●VctC))÷(Abs(VctAxVctB))

Kết quả máy hiện:

113

.

b)

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d

1

và song song với d

2

:

Việc đầu tiên cần làm đĩ là ta phải tìm 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )

α

. gọi vector pháp tuyến

 ⊥ = =  ⊥a d ;d A d B

cần tìm là

a

ta thấy:

1

(

1

2

)

a d

2

Nên

a

cần tìm là

d d

1

;

2

bằng máy tính ta làm như sau:

 

. Để tìm

a

ON

Shift+5

3(vct A)

x

Shift+5

4

=

Màn hình soạn thảo hiện như sau:

VctAxVctB

nhấn phím = để xem kết quả

Máy hiện: Vct Ans (-1;2;2)

Vậy

a= −

(

1; 2; 2

)

. Mp

( )

α

đi qua M(2;-1;0)

Nên

( )

α :

(

x2

)

+2

(

y+1

)

+2

( )

z =0⇔ − +x 2y+2z+ =3 0

Thí sinh chỉ cần gi các bước làm vào bài làm, cơng việc cịn lại hãy để cho máy tính. Ta thấy hồn thành 1

bài hình học giải tích trong đề thi thật nhẹ nhàng.

Các bạn cĩ thể thử làm các bài tốn cĩ lời giải trong sách giáo khoa hình học 12 hay trong các sách tham

khảo bằng chiếc máy tính của mình. Sẽ cĩ nhiều bất ngờ đang chờ các bạn khám phá!

SƠ ĐỒ HORNER VÀ ỨNG DỤNG:

Chia đa thức

P x

( )

=a x

0

n

+a x

1

n

1

+....+a

n

cho

(

x c

)

ta cĩ:

( ) ( ) (

0

n

1

1

n

2

....

n

1

n

)

P x = x c b x

+b x

+ +b

x b+

Trong đĩ

b i

i

(

=0;1; 2;3;...;n

)

định bội sơ đồ Horner:

a

0

a

1

a

2

a

3

c

b

0

b

1

=cb

0

+ a

1

b

2

=cb

1

+ a

2

b

3

=cb

2

+ a

3

b

i

=cb

i-1

+ a

i

Áp dụng:

VD1.

Tính thương và số dư trong phép chia:

( )

2

4

3

8

2

6P x = x +xx − +x

cho x+2

Ta cĩ sơ đồ Horner:

2

1

-8

-1

6

-2

2

-3

-2

3

0

Vậy

P x

( ) (

= x+2 2

) (

x

3

3x

2

2x+3

)

+0

Đến đây, chúng ta đã hiểu phần nào cơng dụng của sơ đồ horner. Trong bài tốn liên quan đến tham

số, việc tìm được nghiệm cố định và phân tích thành tích sẽ làm cơng việc giải tốn nhẹ nhàng rất

nhiều. Nghiệm cố định đã cĩ máy tính, cịn việc chia đa thức: Hãy để sơ đồ Horner làm cho bạn.

Ta quay lại với ví dụ đầu phần phụ lục:

VD2.

Phân tích thành tích:

2x

3

3

(

a+1

)

x

2

+6ax− =4 0

( )

1

( )

3

2

2x −3 a+1 x +6ax− =4 0

Ta đã cĩ được nghiệm cố định x=2. vậy nên

2

-3(a+1)

6a

-4

2

2

-(3a-1)

2

0

Vậy (1)

(

x2

)

2x

3

(

3a1

)

x+2=0

Đây chính là một phần trong bài làm ở Bài3 ở trang 35.

VD3.

Định m để phương trình:

mx

3

(

3m4

)

x

2

+

(

3m7

)

xm+ =3 0

( )

A

cĩ 3 nghiệm dương phân biệt.

16

Ta dễ dàng nhận ra: a+b+c+d=0

phương trình (A) cĩ 1 nghiệm x=1

Sơ đồ Horner:

m

-3m-4

3m+7

-m+3

1

m

-2(m-2)

m-3

0

Nên

( )

A

(

x1

)

mx

2

2

(

m2

)

x+m3=0

(A) Cĩ 3 nghiệm dương phân biệt

g x

( )

=mx

2

2

(

m2

)

x+m− =3 0

cĩ hai nghiệm dương phân

biệt đều khác 1

m0 ≠∆ = − − − >

( ) ( )

' 2 3 0m m m −⇔ = >2 0S m

(

; 0

) (

3; 4

)

⇔ ∈ −∞ ∪3 0P m −= >g m m m1 2 2 3 0= − − + − ≠

VD4.

Định m để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt:

3

1 1 0 1x − −m x− =

( )

1 x

3

mx+m1

Dùng máy tính ta “mị” được nghiệm: x=1

1

0

-m

m-1

1

1

1

1-m

0

Vậy (1)

(

x1

) (

x

2

+ + −x 1 m

)

=0

(1) Cĩ 3 nghiệm phân biệt:

g x( )=x

2

+ + −x 1 m=0

cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1

∆ = − > 4 3 0 3 3 > m m4 3g m m⇔ ⇔ ⇔ < ≠  ≠= + + − ≠1 1 1 1 0 4

Sơ đồ Horner ứng dụng rất nhiều trong giải tốn, nhất là dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số.

Các bạn nên tập sử dụng sơ đồ này một cách thuần thục. Bài tập áp dụng tơi sẽ nêu lên 2 bài dạng

chia đa thức nhằm giúp các bạn hồn thiện kĩ năng.

BÀI TẬP: