CHO (C)Y= F X( )=X3−3X2+2. TÌM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG (D)

bài 3: - Tài liệu - Các Phương Pháp Giải Nhanh Đề Thi Đại Học Môn Toán Của Hoàng Việt Quỳnh bài 3: - Tài liệu - Các Phương Pháp Giải Nhanh Đề Thi Đại Học Môn Toán Của Hoàng Việt Quỳnh
Toán Tài liệu - Các Phương Pháp Giải Nhanh Đề Thi Đại Học Môn Toán Của Hoàng Việt Quỳnh

Bài 3: Cho (C)

y= f x

( )

=x

3

−3x

2

+2

. Tìm trên đường thẳng (d):y=-2 những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ

được đến (C) :

a.

Ba tiếp tuyến phân biệt

b.

Ba tiếp tuyến phân biệt trong đĩ cĩ 2 tiếp tuyến vuơng gĩc với nhau

Giải:

Xét

A a( ; 2)− ∈d y: = −2

.

Phương trình đường thẳng

∆

qua

A a( ; 2)−

và cĩ hệ số gĩc :

( )

2

( )

y=k x−a − ∆

.

∆

tiếp xúc với (C)

Hệ phương trình sau cĩ nghiệm:

 − + = − −

3

2

( ) ( )

3 2 2 1x x k x a

2

( )

x x k− =3 6 2

Thay k từ (2) vào 1 ta được:

( ) ( ) ( )

3

2

2

3 2 3 6 2 3x − x + = x − x x−a −2x 3 a 1 x 6ax 4 0⇔ − + + − =

(

x 2

)

2x

3

(

3a 1

)

x 2 0⇔ −  − − + =2x =⇔

( )

2

( ) ( )

2 3 1 2 0 4g x x a x= − − + =

Từ A kẻ được ba tiếp tuyến phân biết đến (C)

phương trình (3) cĩ 3 nghiệm phân biệt

phương trình (4) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 2

 0 3 1 16 0 1 5 < − ∨ >∆ > − − >  g a a a⇔ ⇔ ⇔3 *g a a2 0 2.2 3 1 .2 2 0 2 ≠ − − + ≠   ≠

Khi đĩ phương trình (3) cĩ 3 nghiệm phân biệt:

x = x x

( với x

1

;x

2

là hai nghiệm của phương trình g(x)=0) và 3 tiếp tuyến ứng với hệ số gĩc là:

0

2;

1

;

2

( ) ( )

2

( )

2

k = f = k = f x = x − x k = f x = x − x

0

' 2 0;

1

'

1

3

1

6 ;

1

2

'

2

3

2

6

2

Vì

k

0

=0

nên : Ycbt

k

1

.k

2

=-1.

(

3x

1

2

6x

1

)(

3x

2

2

6x

2

)

1 9x x

1

2

2

2

2x x

1 2

(

x

1

x

2

)

4x x

1 2

1

( )

**⇔ − − = − ⇔  − + + = −

Áp dụng định lí Viet cho phương trình (4) ta cĩ:

3a 1+ = −

và

x x

1 2

=1x x

1

2

  a−  55⇔ =

(thỏa điều kiện (*)).

9 1 2 4 1⇔  −  + = −

Do đĩ (**)

3 1a 27

Vậy điểm cần tìm là

5527; 2A  −  

.

DẠNG TỐN: HỌ ĐƯỜNG CONG TIẾP XÚC VỚI MỘT ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH

Phương pháp:

Dạng 1: Cho họ đường cong

(

C

m

)

:y=f(x;m). chứng minh

(

C

m

)

luơn tiếp xúc với một đường (C) cố định .

◊ TH1:

(

C

m

)

:y=f(x;m). là hàm đa thức.

Đưa :

y= f x m

(

;

)

về dạng:

y= ±

(

ax bm+

)

n

+g x

( ) (

n nguy n: ê ≥2

)

.

Xét đường cong

( )

C :y=g x

( )

và chứng minh hệ:

± + + =

n

( ) ( ) ( )

ax bm g x g x

Cĩ nghiệm

∀m

( )

1

'

( )

'

( )

± + + =na ax bm

−

g x g x

◊ TH2:

(

C

m

)

:y=f(x;m). là hàm hữu tỉ: (Dạng tổng quát)

(

∆

) tiếp xúc với (C)

hệ sau cĩ nghiệm

 + + = − +ax b c k x x y1 +

0

0

x da c k x a − = ≠ +

Giải hê trên qua 3 bước:

B1: nhân 2 vế của phương trình (2) cho: x+d

ax ad c k x d

( ) ( )

3+ − = ++

B2: (1)-(3):

b ad 2c k x d y2c 4

(

0

)

0

− + = − − +k x d y ad b⇔ = − − + + ++

(

0

)

0

( )

B3: Thay (4) vào (2) sẽ cĩ 1 phương trình theo k. giải phương trình này và tìm m sao cho phương trình

đúng

∀m

.

Lưu ý: cách giải trên cĩ thể áp dụng đối với hàm số

ax bcx d

Dạng 2: Tìm điều kiện để họ đường cong tiếp xúc với 1 đường cố định:

Dùng điều kiện tiếp xúc.

II/ Một số ví dụ: