BÀI 4. GIẢI PHƠNG TRÌNH Y’ = 0 TRONG CÁC TRỜNG HỢP SAU2 2 22 3 3X XY X...

3. Dạng 3. Tiếp tuyến cho trớc hệ số góc:

Phơng pháp.

Cách 1. Tìm tiếp điểm

Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M

0

(x

0

; y

0

). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phơng

trình y = f

^/

(x

0

)(x-x

0

) + f(x

0

).

Khi đó theo giải thiết ta có f

^/

(x

0

) = k. Giải phơng trình này ta tìm đợc hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y

0

= f(x

0

) rồi viết phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1.

Nhận xét: Trong dạng này ta có thể gặp các bài tập nh sau:

*) Tiếp tuyến có hệ số góc k khi đó ta tìm tiếp điểm M

0

(x

0

; y

0

) bằng cách giải phơng trình f

^/

(x

0

) = k sau

đó viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.

*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k =

1 a

^{sau tìm}

tiếp điểm M

0

(x

0

; y

0

) bằng cách giải phơng trình f

^/

(x

0

) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.

*) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax+ b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k= a sau đó tìm tiếp

điểm M

0

(x

0

; y

0

) bằng cách giải phơng trình f

^/

(x

0

) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc



khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan



^{sau đó}

tìm tiếp điểm M

0

(x

0

; y

0

) bằng cách giải phơng trình f

^/

(x

0

) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.

*) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y = ax +b một góc



khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn

k a 1 tanka 

hoặc chúng ta dùng tích vô hớng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó

III. Ví dụ.

Ví dụ 1: Cho hàm số

yf x( )x

³

2x

²

 x 4 ( )C

. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết

a) Hoành độ tiếp điểm lần lợt là -1; 3;

2

b) Tung độ tiếp điểm lần lợt là -4.

c) Tiếp điểm là giao của (C) với trục hoành.

Giải

TXĐ:

D

Ta có

y

^/

f x

^/

( ) 3 x

²

4x1

a) Với hoành độ tiếp điểm x

0

= -1 ta có y

0

= f(x

0

) = f(-1) = - 4;

f x

^/

( )

₀

f

^/

( 1) 0 

suy ra tiếp

tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f

^/

(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4

Với hoành độ tiếp điểm x

0

= 3 ta có y

0

= f(x

0

) = f(3) = 44;

f x

^/

( )

₀

f

^/

(3) 40

suy ra tiếp tuyến với

(C) khi đó có phơng trình y = f

^/

(3)(x-3) + 44 hay y = 40x – 76

b) Với tung độ tiếp điểm y

0

= - 4 ta có x

0

= -1 hoặc x

0

= 0

Với hoành độ tiếp điểm x

0

= -1 ta có

f x

^/

( )

₀

f

^/

( 1) 0 

suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng

trình y = f

^/

(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4

Với x

0

= 0 ta có

f x

^/

( )

₀

f

^/

(0) 1

suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f

^/

(0)(x+1) –

4 hay y = x – 3.

c) Giao điểm của (C) với trục hoành có hoành độ là nghiệm của phơng trình

3

2

2

0 2 4 0 ( 1)( 3 4) 0 1y  x  x  x   x x  x   x

Khi đó

f

^/

(1) 8

suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f

^/

(1)(x-1) hay y = 8x – 8.

Ví dụ 2: Cho hàm số

yf x( )x

³

 m x( 1) 1

^(C

^m

). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C

m

) tại

giao điểm của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích

bằng 8.

Ta có (C

m

) giao với Oy tại điểm A(0; 1 -m)

/

/

( ) 3

2

y f x  x  m

. Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y

^/

(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m

 

^{suy ra}

( m; 0) ( 0)B m

Tiếp tuyến trên cắt trục hoành tại điểm

1mS y x m m m m m1 1 1        

2

| | .| | |1 | .| | 8 16 | | 2 1

OAB

A

B



2 2

2

2

16 2 1 14 1 0 9 4 5m m m m m m               16 2 1 18 1 0 7 4 3          

Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy ra không tồn tại tam giác OAB. Vậy với

9 4 5  

thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra tam giác có diện tích bằng 8.

7 4 3  

Ví dụ 3: Cho hàm số

yf x( )x

³

 3x C

²

( )

viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết

a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 9

b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng

1y 3x

TXĐ:

D

^{. Ta có}

y

^/

f x

^/

( ) 3 x

³

 6x

a) Gọi A(x

A

; y

A

) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm khi đó ta có

f x x x x x x 

A

/

2

2

1( ) 3 6 9 3 6 9 0         

A

A

A

A

A

3x

Với

x

_A

1

^{ta có}

y

_A

4

khi đó tiếp tuyến với (C) cần tìm là y = 9(x+1) – 4 hay

y=9x+5.

Với x

A

= 3 ta có y

A

= 0 khi đó tiếp tuyến với (C ) cần tìm là y =9(x-3) hay y= 9x – 27

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là k = 9 là

y=9x+5 và y= 9x – 27.

b) Gọi M(x

M

;y

M

) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.

Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đờng thẳng

1y3x

suy ra hệ số góc của nó là

k = -3 (Làm tơng tự nh phần a)

Ví dụ 4: Cho hàm số

y2x

³

 3x

²

 12x 5

(C). Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) trong các tr-

ờng hợp sau

a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x – 4.

y x

một góc 45

⁰

.

2 5

b) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng

1

TXĐ:

D

^{. Ta có}

y

^/

6x

²

 6x 12

a) Vì tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x – 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6.

Gọi M

0

(x

0

; y

0

) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó ta có

1 13  

/

2

2

0

( ) 6 6 6 12 6 3 0 2y x x x x x          

0

0

0

0

0

 

0

2

Với

0



khi đó tiếp tuyến cần tìm là



^{ta có}

₀

20 13 23y 2 x  21 13 20 13 23 26 13 296( ) 6y x   y x      2 2 2

^{ta có}

₀

7 13 23

khi đó tiếp tuyến cần tìm là

x 2y 21 13 7 13 23 13 13 29y x   y x      y x

một góc 45

⁰

suy ra hệ số góc của tiếp tuyến

b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đờng thẳng

1

là k thoả mãn

1 2 1 2 1 2 1k k k k k                  2 tan 45 1 2 1 | 2 | 3k k2 1 21 2 3  

sau đó làm tơng tự nh phần a (Tìm tiếp điểm).

A 12; 4

Ví dụ 5: Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) :

y 2x

³

 3x

²

5

đi qua điểm

19

.

  y kx   k

^(d)

4 12

có hệ số góc k, khi đó nó có dạng

19

Giả sử đờng thẳng đi qua

19

Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghịêm

2 3 5 4 19 (1)     

3

2

x x kx k12  6 6 (2)x x k

Thay (2) vào (1) ta có

2 3 5 (6 6 ) 4 19(6 6 ) 8 25 19 2 0

3

2

2

2

3

2

x x x x x x x x x x           1 x x x x( 1)(8 17 2) 0 4      8

( Tự viết phơng trình tiếp tuyến).

Vậy có ba tiếp tuyến với (C) đi qua điểm

19

Ví dụ 6. Cho hàm số

y x

³

3x

²

3x5 ( )C

a) CMR: Không tồn tại hai điểm nào trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với

nhau.

b) Tìm k sao cho trên (C) có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng

thẳng y = kx + m.

a) Giả sử trên (C) có hai điểm M

1

(x

1

; y

1

) và M

2

(x

2

; y

2

) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với nhau.

Ta có y’ = 3x

²

+ 6x + 3 = 3(x+1)

²

.

Khi đó ta có

-1 = y'(x ).y'(x ) = 9.(x +1) .(x + 1) 0   1 0

^{vô lý}

1

1

1

2

Suy ra giả sử là sai hay ta có điều cần chứng minh.

b)

Ví dụ 7. Cho hàm số y =

1