TA CÓ Z Z( +3)=Z2+3Z MẶT KHÁC TA LUÔN CÓ Z2 ≡0 MOD 3( ) HOẶC...

Bài 32. Ta có ^{z z}

(

⁺³

)

^=z

²

^+3z Mặt khác ta luôn có ^z

²

^{≡0 mod 3}

( )

hoặc ^z

²

^{≡1 mod 3}

( )

Do đó với mọi z nguyên ta có :

(

³

) (

^{mod 3 ;}

) { }( )

^{0;1 1}z z+ ≡c c∈ Chứng min tương tự với y,x

(

³

) (

³

) (

^{mod 3 ;}

) {

^{0;1; 2 2}

}( )

⇒ + + + ≡ ∈ x x y y d d

CH UY ÊN Đ Ề S Ố H Ọ C

Lại để ý rằng : ^{x x}

(

^{+ +3}

) (

^{y y+3}

)

⁼

(

^x

²

^{+ y}

²

) ⁽

^{mod 3 3}

^{)( )}

Chú ý rằng nếu p là số nguyên tố khác 3 thì ^p

²

^{≡1 mod 3}

( )

^{. Do vậy x y,} đồng thời là các số nguyên tố khác 3 thì :

( )( )

2

2

2 mod 3 4x + y ≡ Kết hợp (1), (2), (3), (4) suy ra ít nhất một trong hai số x,y phải là 3. Do vai trò đối xứng của x,y chọn x=3 Khi x=3 ta có :

( )( )( )

2

2

2

2

18+y +3y=z +3z⇔18=z +3z−y −3y⇔18= z−y x+ +y 3 5Từ z>0,y> ⇒ + + > ⇒ − >0 z y z 3 z y 0. Vì thế kết hợp với

(

^{z+ + − −y 3}

) (

^{z y}

)

^{=2y+ ≥3 7} (do y nguyên tốn lớn hơn 2). Nên từ (5) suy ra :  + + =  =3 18 7z y y  − =  =1 8z y z ⇔  + + =  =3 9 2 − =  =  2 4Do tính đối xứng nên phương trình có 4 nghiệm nguyên dương :

(

3;7;8 ; 7;3;8 ; 3; 2; 4 ; 2;3; 4

) ( ) ( ) ( )