(1,0 ĐIỂM) CHO A , B LÀ CÁC SỐ DƯƠNG VÀ THỎA MÃN A+B ≤ 1 . CHỨNG...

Câu 5 (1,0 điểm) Cho ^{a , b} là các số dương và thỏa mãn ^{a+b ≤ 1} . Chứng minh:

1

ab + 4 ab ≥ 7

a

+b

+ 1

@...Ta có _a

¹ +b

+ 1

ab + 4 ab = 1

ab + 4 ab ≥ 1

1 −2 ab + 1

ab +4 ab

( a+b)

−2 ab + 1

Cách 1. { Dùng bđt Côsi với điểm rơi là a=b =1/ 2 } Ta có:

1− 2ab + 1

ab +4 ab= 1

1 − 2 ab + 4 (1 −2 ab)+ 1

ab +16 ab − 4 − 4 ab

2 √ ^{1 − 1 2 ab . 4 (1 − 2 ab)+2} √ ^{ab 1 . 16 ab − 4 −4 . ( a +b 2 )}

^{=4 + 8 − 4 −1= 7 ( đpcm)}

Cách 2. { Khảo sát hàm}

Đặt ^{t =ab ≤} ( ^a+b 2 )

^{= 1} 4 và xét hàm số ^{f (t )=} ₁₋ ¹ _2t ^{+ 1} _t ^{+ 4 t} với ^t ∈ ¿

Ta có: ^{f ' (t )= 2}

(1− 2t )

− 1

t

+ 4= 2

(1 −2 t )

− 1

2 t

− 1

2t

+ 4= − 1+ 4 t

(1 −2 t )

. 2t

+ − 1+8 t

2 t

<0

f (t )=f ( ¹ 4 ) ^{=7 . Do đó:} _a

¹ _+b

⁺ ab ¹ + 4 ab ≥ 7 (đpcm)

Suy ra ^min