KHOẢNG CỎCH NHỎ NHẤT GIỮA 2 ĐIỂM THUỘC HAI NHỎNH CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VỚ DỤ 1

1/Bài toỏn 1: Khoảng cỏch nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc hai nhỏnh của đồ thị hàm số

Vớ dụ 1: Giả sử A, B là 2 điểm nằm trờn 2 nhỏnh của đồ thị hàm số y= x+ 1

x+ 2 . Tỡm giỏ trị nhỏ

nhất của khoảng cỏch giữa 2 điểm A, B.

LG:

Vỡ A, B nằm trờn 2 nhỏnh của đồ thị nờn ta giả sử A(x

; ^x

⁺¹

x

+2 ), B( ^x

; ^x

⁺¹

x

+2 ) với x

<-

2<x

¿

a+b ¿

. (1 + 1

x

= -2-a (a> 0)→ y

=1+ 1

a

b

)

a

1

Đặt

do đú AB

=

x

=− 2+b (b> 0) → y

=1 − 1

a + 1

b ¿

=¿

b

a+ b ¿

+¿

¿ {

a+b ¿

≥ 4 ab

ab ¿

Áp dụng BĐT cosi cú:

=> _AB

_{≥ 8 ⇔ AB ≥2} √ 2

≥ 2

ab

¿ ¿

a=b ¿

ab=1

− 3 ;

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

⇔ a=b=1 ⇔

A ¿ ^2); B(-1; 0)

* KL: Giỏ trị nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc 2 nhỏnh đồ thị hàm số là AB=2 √ ^{2 .}

1

x x

  

: 1

C y

x

Vớ dụ 2: Cho hàm số  

 . Tỡm hai điểm A, B thuộc 2 nhỏnh khỏc nhau của (C) sao

cho đoạn AB nhỏ nhất.

LG:

x +1

.  

 ¿ x+ 1

+ x

+ 1

Vỡ A, B nằm trờn 2 nhỏnh của đồ thị (C)nờn ta giả sử A(x

; x

2

+ x

+ 1

x

+ 1 ), B( x

; ^x

x

+1

) với x

<-1<x

Đặt

x

= -1-a ( a>0) → y

=− 1− a − 1

x

=−1+b (b >0) → y

=−1+b + 1

do đú ¿

a+b ¿

. ( ^{2+ ab 2 +} a

¹ b

) ^{≥ 4 ab .} ( ^{2 + ab 2 +} a

¹ b

) ^{= 8 ab+ ab 4 + 8}

AB

=

a+ b ¿

+ [ ^{(a+b)+( 1 a + 1 b )} ]

^=¿

mà 8 ab+ 4

ab ≥ 2 √ ^{8 ab . ab 4 =8 √ 2}

=> AB

≥ 8+ 8 √ ² ⇔ AB ≥ √ ⁸⁺⁸ √ ²

4

ab =8 ab

⇔ a=b= 1

√

²

* Vậy 2 điểm trờn 2 nhỏnh đồ thị cú khoảng cỏch nhỏ nhất là: ¿

√

²⁾ 2).

√ ^{2), B(−1 +}

¹

A (− 1− 1

√

^{2 ;− 1 −}

√

^{2 −}

√

^{2 +}

√ ^{2 ;−1+}