(2,0 ĐIỂM) CHO HÀM SỐ Y= X − X +1 2A) KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ...

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số ^{y= x −} _{x +1} ²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số trên

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ^{( C )} biết tiếp tuyến đó cắt các tiệm cận tại các điểm

A , B sao cho độ dài đoạn thẳng ^AB nhỏ nhất.

@...Tiệm cận đứng là đường thẳng ^{x=− 1} , tiệm cận ngang là đường thẳng ^y=1

Phương trình tiếp tuyến của đths tại điểm ^M ( ^x

^{, x x}

⁻ +1 ² ) ^{có dạng: y=} ( ^x

³ +1 )

( ^{x − x}

) ^{+ x}

^{− 2}

x

+1

Do đó tiếp tuyến cắt TCĐ, TCN lần lượt tại các điểm ^A ( ^{− 1; x x}

⁻ +1 ⁵ ) ^{, B ( 2 x}

^{+ 1; 1 )}

Ta có: AB= √ ^{( 2 x}

^{+ 2 )}

^{+ ( 1 − x x}

^{− +1 5 )}

⁼² _√ ^{( x}

^{+ 1 )}

^{+ ( x}

^{9 +1 )}

Cách 1. {Khảo sát hàm để tìm ^{min AB} }

Xét hàm số ^{f (t )=t + 9} _t với t > 0 { Lưu ý là ^t= ( ^x

+ 1 )

}

f ' ( t )=0 ⇔ 1− 9

t

= 0 ⇔

t =−3 ( loai)

t =3 ¿

Ta có ^{f ' (t )=1 − 9}

t

;

¿ ¿

Lập BBT của hàm số ^f ( t ) trên khoảng ¿ ( 0 ;∞) ta suy ra được:

( ^x

+1 )

^{=3 ⇔}

x

=− 1 − √ ³

x

=− ¿ 1+ √ ³

f (t )=f ( 3)=6 ⇒ AB ≥ 2 √ ⁶ _{. Dấu ¿} xãy ra khi

min

¿

Cách 2. { Dùng bất đẳng thức Côsi để tìm ^{min AB} }

Theo bđt Côsi ta có: ( ^x

+ 1 )

^{+ 9}

( ^x

+1 )

^{≥ 2} √ ^{( x}

^{+1 )}

^{. ( x}

^{+ 9 1 )}

^{=6 ⇒ AB ≥ 2 √ 6}

( ^x

+1 )

^{= 9}

( ^x

+1 )

^⇔

x

=− 1− √ ³

Dấu ¿ xãy ra khi:

x

=−1+ √ 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ^M ( ^x

; y

) có dạng: ^{y= y '} ( ^x

) ( ^{x − x}

) ^{+ y}

Từ đó suy ra các phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y=x +2+2 √ ³ hoặc y= x +2 − 2 √ ³

− 2 sin

x