Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
x
3−3 x
2=8 y
3− 12 y
2(2)
¿ {
Cách 1. {Áp dụng tính đơn điệu của hàm số} ¿
Ta có: ( 1) ⇔ x+ 1+ √ x
2+2 x +2= − y + √ y
2+1 ⇔ ( x +1)+ √ ( x+ 1 )
2+1=(− y )+ √ (− y )
2+ 1 ⇔ x +1=− y
{Vì khi xét hàm số f (t )=t + √ t
2+1 ta có: f ' ( t ) =1+ √ t
2t +1 > 0 với ∀ t ∈ R }
Thay kết quả x=− y − 1 vào phương trình (2) ta có phương trình:
(− y − 1)
3− 3 ( − y −1)
2= 8 y
3− 12 y
2⇔ 9 y
3− 6 y
2+ 9 y+ 4=0 ⇔ ( y + 1 3 ) ( 9 y
2− 9 y+ 12 ) =0 ⇔ y= − 3 1 ⇒ x= − 2
3
Do đó hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: x= −2 3 , y= − 3 1
Cách 2. { Đặt ẩn phụ}
Ta có: ( 1 ) ⇔ x+1 + √ x
2+2 x +2= √ y
2+1 − y =
đătt . Từ đó ta suy ra được:
√ x
2+2 x+ 2=t − ( x +1) ⇒ x
2+ 2 x +2=t
2− 2 t ( x+1 )+ ( x +1)
2⇒ x=−1 − 1 2 − t t
2√ y
2+1=t + y ⇒ y
2+ 1=t
2+2 ty + y
2⇒ y= 1 2t −t
2Từ đó suy ra được: x+ y=− 1
(2 ) ⇔ x
3− 8 y
3−3 ( x
2−4 y
2) =0 ⇔ ( x −2 y ) [ x
2+2 xy +4 y
2− 3 x − 6 y ] =0 ⇔
x −2 y=0
¿
( x + y )
2+ 3 y
2− 3 x − 6 y= 0
¿ ¿
x − 2 ¿ y =0
x + y= −1
⇔
TH1. Với x − 2 y =0 ta có hệ
¿ x=− 2 /3
y=−1 /3
¿{
TH2. Với ( x+ y )
2+3 y
2− 3 x − 6 y=0 ta có hệ: ¿
( x+ y )
2+3 y
2− 3 x − 6 y=0
x + y =− 1
⇒ ( x + y )
2+ 3 y
2−3 ( x + y )− 3 y=0 ⇔ ( x + y )
2+3 y
2+ 3 −3 y=0
Vì ( x+ y )
2≥ 0 và 3 y
2+3 − 3 ¿ y> 0 nên hệ phương trình ở TH2 vô nghiệm
Tóm lại, hệ phương trình đã cho ban đầu chỉ có 1 nghiệm là: x= − 3 2 , y= −1 3
e x ln x+ ln ( xe
2)
Bạn đang xem câu 3 - DINH CAO CUA DAP AN THI THU DAI HOC
