3 2.2 1 2 8 1( ) ( ) ( )+⇒ +  ⇔ − + ≡N K1N.2 1 3 1 1 0 MOD 3⇒ K...

3 .3 2.2 1 3 .2 8 1

( ) ^{( ) ( )}

+

⇒ +  ⇔ − + ≡

n

k

1

n.2 1 3 1 1 0 mod 3⇒ k+1 lẻ ^{k =2m m}

(

^∈N

)

^{⇒ =n 6m+2}

(

^m∈N

)

Vậy điều kiện cần tìm là ^{m≡1 mod 6}

( )

^{hoặc m≡2 mod 6}

( )

^.Bài toán 2. Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số sao cho chia n cho 131 thì dư 112 và chia n cho 132 thì dư 98. Hướng dẫn giải

( ) ( )( )

≡ ⇒ = + ∈n n k k N98 mod132 132 98 1

( )

⇒ + ≡132 98 112 mod131

( ) ( )

⇒ + + = + ⇒ ≡98 33 112 33 mod131 14 mod131k k

( )( )

⇒ ≡ + ∈k m m N131 14 2Từ (1) và (2) n=131.132m+1946⇒ =n 1946 Dạng 4: Tìm một chữ số tận cùng * Cơ sở phương pháp:Nếu ^a≡r

(

^{mod10 ;0}

)

^{≤ <r b} thì r là chữ số tận cùng của a.Ta cần lưu ý một số tính chất sau: Tính chất 1 Nếu a có chữ số tận cùng là 0;1;5;6 thì a

ⁿ

cũng có chữ số tận cùng như a nghĩa là

(

^mod10

)

a

n

≡aTính chất 2

CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H Ọ C S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI

Nếu a có chữ số tận cùng bằng 4;9 _thì a

²

có chữ số tận cùng bằng 6;1_. Nghĩa là: Nếu ^{a≡4 mod10}

( )

^⇒a

²

^{≡6 mod10}

( )

^⇒a

²

^k

^{≡6 mod10}

( )

Nếu ^{a≡9 mod10}

( )

^⇒a

²

^{≡1 mod10}

( )

^⇒a

²

^k

^{≡1 mod10}

( )

Do vậy để tìm chữ số tận cùng của a

ⁿ

ta chia n cho 2. Tính chất 3 Nếu a có chữ số tận cùng là 2;3;7;8 thì ta áp dụng một trong các kết quả sau:

( ) ( ) ( ) ( )

4

4

4

4

2

^k

≡6 mod10 ;3

^k

≡1 mod10 ;7

^k

≡1 mod10 ;8

^k

≡6 mod10Do vậy để tìm chữ số tận cùng của a

ⁿ

ta chia n cho 4. * Ví dụ minh họa:Bài toán 1. Cho số A=2012

²⁰¹³

tìm chữ số tận cùng của A. Ta có 2013=4.503 1+ Vì ^{2012≡2 mod10}

( )

^⇒2012

⁴

^{≡6 mod10}

( )

( ) ^{( ) ( )}

4

503

2012

⇒ ≡ ⇔ ≡2012 6 mod10 2012 6 mod10

2013

2013

2012 6.2 mod10 2012 2 mod10Vậy A có chữ số tận cùng là 2. Bài toán 2. Cho B=1978

¹⁹⁸⁶

⁸

tìm chữ số tận cùng của B. ≡ ⇒ ≡

4

1978 8 mod10 1978 6 mod10≡ ⇒ = ∈

8

k k N1986 0 mod 4 1986 4⇒ = ≡1978

^k

6 mod10CVậy chữ số tận cùng của B là 6.  Dạng 5: Tìm hai chữ số tận cùng * Cơ sở phương pháp: Nếu ^a≡r

(

^{mod100 ;10}

)

^{≤ <r 100} thì r là chữ số tận cùng của a.

( ) ( ) ( )

≡ ≡ ≡

20

20

5

CH UY ÊN Đ Ề S Ố H Ọ C

2 76 mod100 ;3 01 mod100 ;6 mod100≡ ≡

6

2

7 01 mod100 ;5 25 mod100≡ ≡ ∀ ≥76

ⁿ

76 mod100 ; 25

ⁿ

25 mod100 n 2 ≡ ⇒ ≡

20

k

0 mod10 01 mod100a a ≡ ⇒ ≡1;3;7;9 mod10 01 mod100Từ đó ta có:  ≡ ⇒ ≡5 mod10 25 mod1002; 4;6;8 76 mod100Do vậy để tìm hai chữ số tận cùng của a

ⁿ

ta chia n cho 20. Bài toán 1. Cho số A=2012

²⁰¹³

tìm hai chữ số tận cùng của A. Ta có = +2013 20.100 132012 2 mod10 2012 76 mod100

( ) ^{( ) ( )( )}

20

100

2000

2012 76 mod100 2012 76 mod100 1≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡

6

6

6

2012 12 mod100 2012 12 mod100 2012 84 mod100Mặt khác

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡

6

12

2013

2012 56 mod100 2012 56 mod100 2012 72 mod100 2Từ (1) và (2) ⇒²⁰¹²

²⁰¹³

=²⁰¹²

²⁰⁰⁰

^.2012

²⁰¹³

≡76.72 mod100

( )

⇔2012

²⁰¹³

≡72 mod100

( )

Vậy A có hai chữ số tận cùng là: 72Bài toán 2. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau a. A=7

⁹

⁷

⁹

b. B=29

⁹

²⁰¹²

c. C =1978

¹⁹⁸⁶

⁸

a. Vì ⁷

⁴

^{≡01 mod100}

( )

nên ta đi tìm số dư khi chia 9

⁷

⁹

cho 4.

9

9

≡ ⇒ ≡ ⇒ = ∈

7

7

9 1 mod 4 9 1 mod 4 9 4⇒ = = = ≡ ⇒ ≡

9

4

1

4

9

7 7

^k

7. 7

^k

7.01 mod100 7 07 mod100A

⁺

Vậy A có hai chữ số tận cùng là 07. b. Vì ²⁹

¹⁰

^{≡01 mod100}

( )

^⇒nên ta đi tìm số dư khi chia 9

²⁰¹²

cho 10Ta có : ≡ − ⇒ ≡ ⇒ = + ∈

2012

2012

9 1 mod10 9 1 mod10 9 10 1k k N⇒ = = ≡ ⇔ ≡

10

1

10

29

^k

29. 29

^k

29.01 mod100 29 mod100B

⁺

BVậy B có hai chữ số tận cùng là 29. c. Vì ^{C ≡6 mod10}

( )

^⇒C

²⁰

^{≡76 mod100}

( )

^⇒C

²⁰

^m

^{≡76 mod100}

( )

Mặt khác 1986 6 mod 20 1986 16 mod 20

( ) ^{( )}

⇒ = = ≡

20

6

20

16

16

1978

^k

1978

^k

.1978 1978 .76 mod100C

⁺

Ta lại có :

( ) ( ) ( ) ^{( )}

≡ − ⇒ ≡ ⇒ ≡1978 22 mod100 1978 56 mod100 1978 56 mod100⇒ ≡

16

1978 76 mod100