3. HỆ ĐẲNG CẤP ĐỊNH NGHĨA

4.3. Hệ đẳng cấp Định nghĩa: Hệ đẳng cấp là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp hoặccác phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trìnhđẳng cấp.+Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:

2

2



















ax bxy cy

d











gx

hxy ky

lx my

ex

gxy hy

k





 

gx hx y kxy ly

mx ny













,…



,

^{ax bxy cy}

²

₃

₂

²

₂

^d

₃



,

^{ax bxy cy}

²

₂

²

₂

^{dx ey}

+ Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứacăn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện. Cách giải: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạp raphương trình đẳng cấp bậc

n

:

a x

₁

ⁿ



a x

_k

^{n k}

^

.

y

^k

 

...

a y

_n

ⁿ



0

. Từ đó ta xét haitrường hợp:+

y



0

thay vào để tìm

x

.+

y



0

ta đặt

x ty



thì thu được phương trình

a t

₁

ⁿ



a t

_k

^{n k}

^

 

...

a

_n



0

.Giải phương trình tìm

t

sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm

x y

,

. (Cách làmcũng tương tự với trường hợp

y tx



)B. Bài tập vận dụngVí dụ 1: Giải hệ phương trình:

1

3







x

y

4





2





15

6

5



Lời giải:Trước khi giải hệ phươn trình, ta phải đặt điều kiện cho các ẩn để hệ phươngtrình có nghĩa. Điều kiện:

x



0

;

y



0

.

1

(Khi đặt ẩn ta lưu ý đặt điều kiện nếu có).

1

và

b

Đặt

a

y



x



a

. Sử dụng phương pháp thế hoặc

b

Khi đó hệ phương trình trở thành

1

4

a

)

2

(

tm

a

.phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình, ta được

4

(

a

ta có





(

x

. Vậy hệ phương trình có nghiệmVới

1

2

1

2





(

x

y



;

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:



12

1





c)

   

xy

40

b)a)

  









40

9

  



12

2





Đáp số:

  

x

;

y



12

;

25



Đáp số:

   

x

;

y



9

;

1

Đáp số:

  

x

;

y



144

;

36



9

25

d)



e)



30

Đáp số:

  

x

;

y



16

;



7



Đáp số:

  

x

;

y





3

;

3



hoặc

  

x

;

y





3

;



1



Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

3

y

8

Ta biến đổi hệ phương trình thành

2

xy

y

)(

x

. Đặt





S

 

P

.

điều kiện

S

²



4

P

, hệ trở thành:

2

xy

2

P

.(

Giải hệ trên rồi với ẩn

S

,

P

. Khi tìm được

S

,

P

, ta sẽ tính được nghiệm của hệphương trình là

   

x

;

y



0

;

2

hoặc

   

x

;

y



2

;

0

.Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau

19

3

2

b,

_

^

^













a,

 

3

3

Đáp số:

  

x

;

y



8

;

64



hoặc

  

x

;

y



64

;

8



Đáp số:

  

x

;

y





2

;

3



hoặc

  

x

;

y



3

;



2



c,



d,



Đáp số:

   

x

;

y



3

;

3

Đáp số:

   

x

;

y



4

;

4







0









 

x

f,

   



1

1

5

y

xy

11





e,









 

;

y

5



21

;1

3

;

5

hoặc

 

_

Đáp số:

 

_

;

y

x

hoặc



2







 

;

1

;

y

3

 

_

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:Điều kiện

x

,

y



0

. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:



y

y

 ^

y

x

^

x

²





²





2







 



 ^



^



1



2





 



0



x

y

x

y

x

y

x

y

.Vì

 

x

^

y

 ^

x

^

y

^

^

¹

^

²



x

^

y

 

^

⁰

nên phương trình đã cho tương đương với

x



.Thế

x



y

vào một trong hai phương trình trên ta được nghiệm của hệ phương





