8.15. Tính các tích phân sau
0
1
2
Z
3x 2 + 3x + 3
4x − 2
x 2 − 3x + 2
a) I =
x 3 − 3x + 2 dx. b) I =
x (x 2 + 2x + 1) dx. c) I =
(x + 2)(x 2 + 1) dx.
−1
√
3
1 − x 4
d) I =
x + x 5 dx. f) I =
x + x 3 dx. e) I =
(x 2 + 3x + 2) 2 dx.
Lời giải.
a) Ta có 3x 2 + 3x + 3
x 3 − 3x + 2 = 3x 2 + 3x + 3
x − 1 + B
x + 2
(x − 1) 2 (x + 2) = A
(x − 1) 2 + C
= A (x − 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x − 1) 2
(x − 1) 2 (x + 2) = (A + C)x 2 + (A + B − 2C)x − 2A + 2B + C
(x − 1) 2 (x + 2)
A + C = 3
A = 2
A + B − 2C = 3
⇔
Đồng nhất hệ số được
B = 3
. Khi đó
−2A + 2B + C = 3
C = 1
+ ln |x + 2|| 0 −1 = 3
I =
2 − ln 2
x − 1
x + 2 dx = 2 ln |x − 1|| 0 −1 − 3
x − 1 dx +
(x − 1) 2 dx +
b) Ta có x 2 − 3x + 2
x (x 2 + 2x + 1) = x 2 − 3x + 2
x + B
x + 1 + C
x(x + 1) 2 = A
(x + 1) 2
= A(x + 1) 2 + Bx(x + 1) + Cx
x(x + 1) 2 = (A + B)x 2 + (2A + B + C)x + A
x(x + 1) 2 .
A + B = 1
2A + B + C = −3
B = −1
C = −6
= ln 8
2 ln |x| − ln |x + 1| + 6
I = 2
x + 1
x + 1 dx − 6
x dx −
3 − 1
(x + 1) 2 dx =
+ B(x + 2) + 2Cx(x + 2)
c) Ta có 4x − 2
(x + 2)(x 2 + 1) = A
x + 2 + B
x 2 + 1 + 2Cx
x 2 + 1 = A x 2 + 1
(x + 2)(x 2 + 1)
= (A + 2C) x 2 + (B + 4C) x + A + 2B
(x + 2)(x 2 + 1) .
A + 2C = 0
A = −2
B = 0
B + 4C = 4
A + 2B = −2
2x
x 2 + 1
I = −2
0 = ln 8
x 2 + 1 dx = −2 ln |x + 2| + ln
9
x + 2 dx +
√ 3
1
x 2 + 1 − x 2
dx
x (1 + x 2 ) dx =
x − x
x + x 3 dx =
1 + x 2
=
ln |x| − 1
1 + x 2
= 1
2 ln 3
Bạn đang xem 8. - DAP AN CHUYEN DE TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
