CHO ABCVUÔNG TẠI A (ABAC), ĐƯỜNG CAO AH, ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN A...

Bài 4. Cho ABCvuông tại A

(

^ABAC

)

, đường cao AH, đường trung tuyến AM . Gọi E F, lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB AC, . Trên tia đối của EH lấy điểm P sao cho EP=EH, trên tia đối của FH lấy Q sao cho FH =FQ. a) Chứng minh ba điểm P A Q, , thẳng hàng. b) Chứng minh rằng tứ giác BPQC là hình thang vuông và PB+QC=BC. c) Chứng minh AM ⊥EF . d) Gọi

( )

^d là đường thẳng thay đổi đi qua A, nhưng không cắt cạnh BC của ABC. Gọi ,X Y lần lượt là hình chiếu vuông góc của B C, trên

( )

^d . Tìm vị trí của

( )

^d để chu vi tứ giác BXYC lớn nhất. Lời giải

Q

(d)

A

X

F

Y

P

E

B H M C

a) +AEP,AEHcó AE chung AEP=AEH =  (do HE⊥ AB) 90EP=EH (Giả thiết)

( )

  =  − −AEP AEH c g c =

( )

¹PAE HAE+ AFH,AFQcó AF chung AFH =AFQ=  (do HF⊥AC) HF =FQ (Giả thiết) AFH AFQ c g c

( )

² =HAF QAF+ABC vuông tại A^{EAH+HAF = 90 3}

( )

+ Từ

( ) ( ) ( )

1 , 2 & 3 PAE+EAH+HAF+QAF =180PAQ=180hay P A Q, , thẳng hàng. b) + PAB,HAB có AP=AH do AEP = AEHPAB=HAB cmtAB chung PAB HAB c g c = =   ⊥

( )

⁼

( )

HAC=CAQ cmtACchung   = − −QAC HAC c g c = =   ⊥ và ^HC=QC

( )

^5'90 5AQC AHC QC AP+ Từ

( ) ( )

^{4 & 5 suy ra BPQC} là hình thang vuông. Từ

( ) ( )

4 ' & 5' suy ra PB QC+ =BH+HC=BC. c) Do trên tia đối của EH lấy điểm P sao cho EP=EH, trên tia đối của FH lấy Q sao cho FH =FQnên E là trung điểm PH , F là trung điểm HQ.  EF là đường trung bình củaHQP

( )

⁷EFA FAQ+ Có ^{AP=AH AH, = AQ cmt}

( )

^A là trung điểm PQCó AM là trung tuyến của ABC(giả thiết) Mlà trung điểm BC  AM là đường trung bình của hình thang vuông BPQC AM ⊥PQ = = AQC AHC90 8Từ

( ) ( )

^{7 & 8 AFE+FAM =  90 AM⊥FE.} d) + Ta có

(

^ad−bc

)

²

^{ 0 a b c d, , ,} − + 

2

2

2 2

2 0a d abcd b c + + +  + +

2 2

2

2

2 2

2

2

2 2

2

2

2a c a d b c b d a c abcd b d

(

^a

²

^b

²

)(

^c

²

^d

²

) ⁽

^{ac bd}

^{) ( )}

²

^* + +  +Dấu “=” xảy ra khi ad=bc hay a bc = d . + Có BC

²

= AB

²

+AC

²

=BX

²

+XA

²

+AY

²

+YC

²

Áp dụng

( )

^{* ta có:}

(

²

²

) ^{( ) ( )}

²

2 BX +XA  BX +XA 92 AY +YC  AY+YC 10Từ

( )

^{9 &}

( )

^{10 2BC}

²

^

(

^{BX +XA}

) (

²

^{+ AY+YC}

)

²

Gọi BX+XA m= , AY YC+ =n. Xét ABX,CAY có BXA=AYC= CAY =ABX ( cùng phụ BAX)  ABXCAY g−g = = = + =XA XB AB XA XB m+CY AY AC CY AY n =  = = + =  =

2

2

2

2

2

2

AB m AB AC AB AC BC BC1+ +

2

2

2

2

2

2

2

2 2AC n m n m n m n BC   . 2, 2m AB n ACChu vi BXCY là: BC BX+ +XY YC+= + + + +BC BX XA AY YC= + +BC m n + + = + +BC AB AC BC AB AC2 2 2Dấu “=” xảy ra khi XB=XA CY, = AY hay ABX , ACY vuông cân tại X , Y45 XAB= 

( )

^{d tạo với AB góc 45}Vậy

( )

^{d tạo với AB góc} 45thì chu vi nhận giá trị lớn nhất là ^{BC+ 2}

(

^AB+AC

)

^.