7,9.. * VÍ DỤ MINH HỌA

5,7,9.. * Ví dụ minh họa:Bài toán 1. Chứng minh rằng số : A=19

^k

+5

^k

+1995

^k

+1996

^k

với k chẵn không thể là số chính phương. Hướng dẫn giải Với k chẵn ta có

( ) ( ) ( )

≡ − ⇒ ≡

k

k

k

19 1 mod 4 19 1 mod 4

k

k

5

1995 1 mod 4 1995 1 mod 4

( ) ( )

≡ ⇒ = + + + ≡

k

k

k

k

k

1996 0 mod 4 19 5 1995 1996 3 mod 4AHay A chia 3 dư 4. Vậy A không thể là số chính phương. Bài toán 2. Tìm tất cả số tự nhiên x,y để 2

^x

+ 5

^y

là số chính phương. Giả sử ²

^x

⁺⁵

^y

^=k

²

(

^k∈N

)

Nếu

x

=

0

thì 1 5+

^y

=k

²

do đó k chẵn ⇒k

²

chia hết cho 4 nhưng 1 5+

^y

chia 4 dư 2. Vậy

x

≠

0

, từ

1 5

+

^y

=

k

²

⇒

k lẻ và k không chia hết cho 5. Xét hai trường hợp. +) Với thì

²

^x

^{+ =}

¹

^k

²

⁼

(

²

ⁿ

⁺

¹

)

²

(vì k lẻ nên

k

=

2

n

+

1,

n

∈

N

). ⇒ = + ⇒ = . Khi đó x = 3; y = 0 (thỏa mãn)2

^x

4 (n n 1) n 1Thử lại:

2

^x

+

5

^y

=

2

³

+

5

⁰

=

9

là số chính phương. +) Với

y

≠

0

và k không chia hết cho 5 ⇒k

²

≡ ±1(mod 5)Từ 2

^x

+5

^y

=k

²

⇒2

^x

≡ ±1(mod 5) ⇒xchẵn Đặt x=2x

₁

(

x

1

∈

N

)

, ta có 5

^y

=(k+2 )(

^x

k−2 )

^x

1

1

 + =

x

y

⇒ 2 5k− = với y

₁

+y

₂

= y với y

₁

> y

₂

, y

¹

, y

²

là các số tự nhiên.

1

2

⇒

=

− ⇒

= ⇒

=

.

1

1

2

1

2

2

2

^x

⁺

5 (5

^y

^y

⁻

^y

1)

5

^y

1

y

2

0

⇒ = Khi đó

2

^x

¹

⁺

¹

=

5

^y

−

1

.y y