ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Y X 1 CHO HÀM SỐ 2X 1. CHỨNG MINH RẰNG V...
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
y
x 1
Cho hàm số
2x 1
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc
của các tiếp tuyến với (C) tại A và B . Tìm m để tổng k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = x + m
x 1
2x 1
= x + m
– x + 1 = (2x – 1)(x + m) ( vì x =
1
2
không là nghiệm)
2x
2
+ 2mx – (m + 1) = 0 (1)
Phương trình (1) có ' = m
2
+ 2m + 2 = (m + 1)
2
+ 1 > 0, mR
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên d luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt A, B.
Hoành độ tiếp điểm A và B là x
1
và x
2
là nghiệm của phương trình (1) nên theo
x .x
a
2
định lý Viét ta có:
x
1
x
2
b
m
1 2
c
m 1
a
và
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có:
1
1
k
k
y'(x ) y'(x )
1
2
1
2
2
2
2x 1
2x
1
1
2
2
2
4 x
x
4 x
x
2
1
2
1
2
2
4x x
2 x
x
1
1 2
1
2
4 x
x
8x .x
4 x
x
2
1
2
1 2
1
2
4 m
8
m 1
4 m
2
4m
4m 4 4m 2
2m 2 2m 1
4
m 1
2 m 1
4m
2
8m 6
4 m 1
2
2
2
Do đó k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất bằng – 2 khi và chỉ khi m = –1 .
Vậy khi m = –1 thì k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất.