ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 CHO HÀM SỐ Y = X3 – 3X2 + 4 (1) CHỨNG MINH RẰN...
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008
Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4
(1)
Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) đều
cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của
đoạn thẳng AB.
Giải
Gọi d là đường thẳng qua I(1; 2) có hệ số góc k (k > 3)
d: y = k(x – 1) + 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
x
3
– 3x
2
+ 4 = k(x – 1) + 2
(x – 1)(x
2
– 2x – k – 2) = 0 (*)
x 1 x
2
I
g(x) x
2x k 2 0 (1)
Do k > 3 nên phương trình (1) có:
3 k 0
g(1)
k 3 0
.
Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác 1
Phương trình (*) luôn có 3 nghiệm phân biệt
Đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, I
x
x
x
x
2
2
1 x
Mặt khác
A
B
1
2
I
A, B, I thẳng hàng
I là trung điểm của đoạn thẳng AB (Điều phải chứng minh).