XÉT TỨ GIÁC ABCD CĨ AC ⊥ BD, O LÀ GIAO ĐIỂM HAI ĐƯỜNG CHÉO.COA =...
113. Xét tứ giác ABCD cĩ AC ⊥ BD, O là giao điểm hai đường chéo.
c
OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > 0. Ta cĩ :
O
a
d
2
2
2
2
2
2
2
2
AB
=
a
+
c ; BC
=
b
+
c ; AD
=
a
+
d ; CD
=
b
+
d
D
A
AC = a + b ; BD = c + d. Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD.
Thật vậy ta cĩ : AB.BC ≥ 2S
ABC
; AD.CD ≥ 2S
ADC
. Suy ra :
Suy ra : AB.BC + AD.CD ≥ 2S
ABCD
= AC.BD.
Vậy :
(
a
2
+
c
2
) (
b
2
+
c
2
) (
+
a
2
+
d
2
) (
b
2
+
d
2
)
≥ +
(a b)(c d)
+
.
Chú ý : Giải bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki :
(m
2
+ n
2
)(x
2
+ y
2
) ≥ (mx + ny)
2
với m = a , n = c , x = c , y = b ta cĩ :
(a
2
+ c
2
)(c
2
+ b
2
) ≥ (ac + cb)
2
⇒
(
a
2
+
c c
2
) (
2
+
b
2
)
≥ ac + cb (1)
Tương tự :
(
a
2
+
d
2
) (
d
2
+
b
2
)
≥ ad + bd (2) . Cộng (1) và (2) suy ra đpcm.
1
2
1
1
1
A x
x
x
. Vậy minA
= +
=
+
÷
− ≥ −
= −
.