KHI ĐÓ TA CÓ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
97.
g) Điều kiện:
−1
≤
x
≤
1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
(∗)
1 +
x
+
√
1
−
x
+ log
2
4
⇔
8
−
x
2
= 4
√
= log
2
√
log
2
8
−
x
2
⇒
1
−
x
2
=
t
4
−4t
4
2
+4
. Phương trình
(∗)
trở thành:
Đặt
√
1
−
x
=
t, t
∈
√
2; 2
t
= 2
7 +
t
4
−
4t
2
+ 4
t
3
+ 2t
−
16 = 0 (∗∗)
4
= 4t
⇔
t
4
−
4t
2
−
16t
+ 32 = 0
⇔
(t
−
2)(t
3
+ 2t
−
16) = 0
⇔
có
f
0
(t) = 3t
2
+ 2
>
0,
∀t
∈
√
Xét
f
(t) =
t
3
+ 2t
−
16
trên
√
⇒
f
(t)
≤
f
(2) =
−4
⇒
(∗∗)
vô nghiệm.
Suy ra
f
(t)
đồng biến trên
√
1
−
x
2
= 1
⇔
x
= 0.
1
−
x
2
= 4
⇔
√
1
−
x
= 2
⇔
2 + 2
√
Với
t
= 2
⇒
√
h) Điều kiện:
2
x
>
3
4
. Khi đó ta có phương trình tương đương:
2
x
= 3
log
2
(4
x
+ 15.2
x
+ 27) = log
2
(4.2
x
−
3)
2
⇔
15.4
x
−
39.2
x
−
18 = 0
⇔
2
x
=
−
2
5
(loại)
⇔
x
= log
2
3
Bài tập 5.35.
Giải các phương trình sau
= 2.
b) (A-08)
log
2x−1
2x
2
+
x
−
1
+log
x+1
(2x
−
1)
2
= 4.
+ 3log
2
x
+
√
x
2
−
1
a)
log
2
x
−
√
= log
6
x
−
√
.
.log
3
x
+
√
c)
log
2
x
−
√
Lời giải.
a) Ta có phương trình tương đương:
−
log
2
= 2
⇔
log
2
= 1
x
+
p
+ 3log
2
x
≤
2
⇔
x
+
p
⇔
x
=
5
x
2
−
1 = 2
⇔
x
2
−
1
≥
0
4
x
2
−
1 =
x
2
−
4x
+ 4
b) Điều kiện:
x >
1
2
;
x
6= 1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
2x−1
[(2x
−
1) (x
+ 1)] + 2log
x+1
(2x
−
1) = 4
⇔
1 + log
2x−1
(x
+ 1) +
2
log
2x−1
(x
+ 1)
= 4
⇔
log
2
2x−1
(x
+ 1)
−
3log
2x−1
(x
+ 1) + 2 = 0
log
2x−1
(x
+ 1) = 1
x
+ 1 = 2x
−
1
⇔
log
2x−1
(x
+ 1) = 2
⇔
x
+ 1 = 4x
2
−
4x
+ 1
x
= 2
x
= 0
(loại)
x
=
5
4
Vậy phương trình có hai nghiệm
x
= 2
và
x
=
5
4
.
c) Ta có phương trình tương đương:
log
2
x
−
p
.log
3
= log
6
2.log
2
−
log
6
2
⇔
log
2
= 0
x
2
−
1
log
3
log
2
x
−
√
x
−
√
x
2
−
1 = 1
x
2
−
1 = 3
log
6
2
x
+
√
= log
6
2
⇔
log
3
x
+
√
x
≥
1
x
= 1
x
2
−
1 =
x
2
−
2x
+ 1
x
≤
3
log
6
2
x
=
3
log62
+3
2
−
log62
x
2
−
1 =
x
2
−
2x3
log
6
2
+ 9
log
6
2
Bài tập 5.36.
Giải các bất phương trình sau
a) (A-07)
2log
3
(4x
−
3) + log
1
3
(2x
+ 3)
≤
2.
b)
log
1
2
x
+ 2log
1
4
(x
−
1) + log
2
6
≤
0.
x
2
−3x+2
c) (D-08)
log
1
x
≥
0.
d)
log
0,5
2x−1
x+1
>
1.
2
e)
log
2
3.2
x−1
−
1
log
2
x
<
0.
x
≥
1.
f)
log
2
(1
−
3log
27
x)
−
1
g) (B-02)
log
x
[log
3
(9
x
−
72)]
≤
1.
h)
x
−
1
log
3
(9
−
3
x
)
−
3
≤
1.
a) Điều kiện:
x >
3
4
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log
3
(4x
−
3)
2
≤
log
3
(2x
+ 3) + log
3
9
⇔
(4x
−
3)
2
≤
9(2x
+ 3)
⇔
16x
2
−
42x
−
18
≤
0
⇔ −
3
8
≤
x
≤
3
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm
S
=
3
4
; 3
b) Điều kiện:
x >
1. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
x
≥
3
log
1
x
≤ −2
(loại)
2
x
+ log
1
2
(x
−
1)
≤
log
1
2
6
⇔
x(x
−
1)
≥
6
⇔
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
S
= [3; +∞).
0
< x <
1
c) Điều kiện:
x >
2
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
x
2
−
3x
+ 2
2
≤
x
≤
2 +
√
x
≤
1
⇔
x
2
−
3x
+ 2
≤
x
⇔
2
−
√
∪
2; 2 +
√
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm
S
=
2
−
√
2; 1
2
x >
1
2
d) Điều kiện:
x <
−1
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
x
+ 1
2x
−
1
<
1
2
⇔
3
2 (2x
−
1)
<
0
⇔
x <
1
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm
S
= (−∞;
−1).
e) Điều kiện:
x >
1
−
log
2
3;
x
6= 0.
Với
x >
0, ta có bất phương trình tương đương:
log
2
3.2
x−1
−
1
≥
x
⇔
3
2
.2
x
−1
≥
2
x
⇔
x
≥
1
⇒
S
1
= [1; +∞).
≤
x
⇔
3
2
.2
x
−
1
≤
2
x
⇔
x
≤
1
⇒
S
2
= (1
−
log
2
3; 0).
Với
1
−
log
2
3
< x <
0, BPT tương đương:
log
2
3.2
x−1
−
1
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
S
=
S
1
∪
S
2
= (1
−
log
2
3; 0)
∪
[1; +∞).
f) Điều kiện:
0
< x <
3;
x
6= 1.
Với
1
< x <
3, ta có BPT tương đương:
log
2
(1
−
log
3
x)
−
1
<
0
⇔
1
−
log
3
x <
2
⇔
x >
1
3
⇒
S
1
= (1; 3).
Với
0
< x <
1, ta có BPT tương đương:
log
2
(1
−
log
3
x)
−
1
>
0
⇔
1
−
log
3
x >
2
⇔
x <
1
3
⇒
S
2
= 0;
1
3
∪
(1; 3).
Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm
S
=
S
1
∪
S
2
= 0;
1
3
g) Điều kiện:
x >
log
9
73. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log
3
(9
x
−
72)
≤
x
⇔
9
x
−
72
≤
3
x
⇔ −8
≤
3
x
≤
9
⇔
x
≤
2
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm
S
= (log
3
73; 2].
h) Điều kiện:
x <
2. Nhận xét rằng
log
3
(9
−
3
x
)
−
3
<
0
nên ta có bất phương trình tương đương:
x
−
1
≥
log
3
(9
−
3
x
)
−
3
⇔
9
−
3
x
≤
3
x+2
⇔
3
x
≥
9
10
⇔
x
≥
2
−
log
3
10
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm
S
= [2
−
log
3
10; 2).
Bài tập 5.37.
Giải các bất phương trình sau
<
0.
b)
log
1
a) (B-08)
log
0,7
log
6
x
x+4
2
+x
2
log
3
x+1
x−1
≥
0.
√
x
2
+ 1
−
x
x+1
c)
log
3
log
4
3x−1
x+1
≤
log
1
x
2
+ 1 +
x
>
log
3
log
1
3x−1
.
d)
log
1
3
log
5
√
5
3
log
1
−4
< x <
−3
a)
log
0,7
<
0
⇔
log
6
x
x+4
2
+x
>
1
⇔
x
x+4
2
+x
>
6
⇔
x
2
−5x−24
x+4
>
0
⇔
x >
8
.
x
≥
2
log
3
x
+ 1
x <
1
x
−
1
≤
1
⇔
x
+ 1
x
−
1
≤
3
⇔
−2x
+ 4
x
−
1
≤
0
⇔
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm
S
= [2; +∞).
x >
1
x >
−1
log
3
log
4
3x
−
1
x
≤ −5
x
+ 1
≤
0
⇔
log
4
3x
−
1
x
+ 1
≤
1
⇔
3x
−
1
x
+ 1
≤
4
⇔
−x
−
5
x
+ 1
≤
0
⇔
Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm
S
= (−∞;
−5]
∪
(1; +∞).
d) Điều kiện:
x >
0. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
x
≤
5
<
0
⇔
p
x
2
+ 1 +
x <
5
⇔
log
3
log
5
p
x
2
+ 1
<
(5
−
x)
2
⇔
x <
12
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm:
0;
12
5
Bài tập 5.38.
Giải các phương trình sau
a)
log
2
2
x
−
3log
2
x
+ 2 = 0.
b)
log
1
2
x
+ log
2
2
x
= 2.
c)
2log
2
x
−
log
3
x
= 2
−
log
x.
d)
log
2
x
3
−
20 log
√
x
+ 1 = 0.
e)
p
log
3
x
+
p
4
−
log
3
x
= 2.
f)
log
2
(2
x
+ 1)
.log
2
2
x+1
+ 2
= 2.
g)
log
3
(3
x
+ 1)
.log
3
3
x+2
+ 9
= 3.
h)
log
2
(5
x
−
1)
.log
4
(2.5
x
−
2) = 1.
log
2
x
= 2
x
= 4
a)
log
2
2
x
−
3log
2
x
+ 2 = 0
⇔
log
2
x
= 1
⇔
x
= 2
.
log
2
x
=
−1
x
=
1
2
b)
log
1
log
2
x
= 2
⇔
x
= 4
.
2
x
+ log
2
2
x
= 2
⇔
log
2
2
x
−
log
2
x
−
2 = 0
⇔
log
x
= 1
x
= 10
log
x
=
−1
x
=
10
1
c)
2log
2
x
−
log
3
x
= 2
−
log
x
⇔
log
3
x
−
2log
2
x
−
log
x
+ 2 = 0
⇔
log
x
= 2
x
= 100
log
x
= 1
x
= 10
x
+ 1 = 0
⇔
9log
2
x
−
10 log
x
+ 1 = 0
⇔
d)
log
2
x
3
−
20 log
√
log
x
=
1
9
⇔
x
=
√
9