1. ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM SỐ F X Y ( , ) LIÊN TỤC TRÊN MIỀN ĐÓNG GIỚI NỘI...

2.1. Đạo hàm riêng

Hàm số f x y ( , ) liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó

a) Đạo hàm riêng cấp 1

đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D .

Cho hàm số f x y ( , ) xác định trên miền mở D   ² chứa

 

VD 6. Xét sự liên tục của

2 2

 

x y

sin

điểm M x ₀ ( , ₀ y ₀ ) .

 

   

   

f x y x y x y

; , 0,0

,

Cố định y ₀ , nếu hàm số f x y ( , ₀ ) có đạo hàm tại x ₀ thì ta

 

x y

1 ; , 0,0

 

gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm

số f x y ( , ) tại ( , x y _{0 0} ) .

Ký hiệu là:



( , )

x x y

0 0

f x y x hay f x y _x  ( , _{0 0} ) hay f ( , _{0 0} ).



 Chương Chương 1. 1. Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm số số nhiều nhiều biến biến

  

( , ) ( , )

f x y f x y

0 0 0

VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:

( , ) lim .

f x y

Vậy

x x x



x x



4 3 2 3

f x y  x  x y  y  xy tại ( 1; 2)  .

( , ) 3 2 3

0

• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại ( , x y _{0 0} ) là:

2

 

z x

ln 1

VD 2. Tính các đạo hàm riêng của

  .

f x y f x y

1

y y y

y y

VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z cos x

 y tại ( ; 4)  .

Chú ý

VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f x y z ( , , )  e ^{x y}

sin z .

   

• Nếu f x ( ) là hàm số một biến x thì f _x f df

 .

x dx

• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự.

b) Đạo hàm riêng cấp cao

• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn

2 có định nghĩa tương tự.

• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số f x y _x  ( , ) , f x y _y  ( , )

được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f x y ( , ) .

VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:

 

        

    

f f f f

f

3 2 3 4

( , ) ^y

f x y  x e  x y  y tại ( 1; 1)  .

Ký hiệu: x

x x   x x ² ₂

 

 

  ,

x

VD 6. Cho hàm số f x y ( , )  x ⁵  y ⁴  x y ^{4 5} .

y 2

y y y y

Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm ⁽⁵⁾

(1; 1)

y

f x y  là:

 

f f

A. ⁽⁵⁾

(1; 1) 480

  ,

_{x y} ^f _xy   ^f _{x y} ^{f 2}

f x y    ;

f x y   ; B. ⁽⁵⁾

(1; 1) 480

  

  

y x

y x

C. ⁽⁵⁾

(1; 1) 120

f f f

f x y    .

f x y   ; D. ⁽⁵⁾

(1; 1) 120

  .

y x yx   y x ²

• Định lý Schwarz

z

^ m  của z  e ^{2x y } là:

VD 7. Đạo hàm riêng ^{( m n}

⁾

( 2)

x y x

Nếu hàm số f x y ( , ) có các đạo hàm riêng f _xy  và f _yx 

A. ( 1) 2  ^{n m n } e ^{2 x y } ; B. ( 1) 2  ^{m m n } e ^{2 x y } ;

liên tục trong miền mở D   ² thì f _xy   f _yx  .

C. ( 1) 2  ^{m m} e ^{2 x y } ; D. ( 1) 2  ^{n m} e ^{2 x y } .

( ) ( )

m n m n

z

^  z ^ .

Giải. Ta có

x y x x y

/ 2 2 ^{x y}

   ^{( ) m}

2 ^{m 2 x y}

 

z x  e ^{ //}

2 ^{2 2 x y} ...

z x e ^

Hermann Amandus Schwarz

(

1) 2 2 (

2) 2 2

m m x y m m x y

    

z ^ e ^ z ^ e ^

(1843 – 1921)

x y x y

m n n m x y

    .

⁽

⁾ ( 1) 2 ²

z x y ^ e ^ D

b) Định nghĩa