6. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT CỦA HÀM HAI BIẾN L   L    L ...

4.6. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến

L   L    L  

Vi phân cấp 2:

2

0; xy 1;

2

0

x y

trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục)

d L 240; 10  2 dxdy .

Cho miền D   2 đóng có biên  D : ( , )  x y  0 và

Điều kiện: d x y  ( , )  ydxxdy

( , )

f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có

40; 100

  d   dx   4 dy  0

thể không khả vi tại m điểm M 1 ,..., M m ).

d L 240; 10 8 dy 2 0 .

Giả sử biên  D trơn, nghĩa là hàm  khả vi.

Để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của f trên D , ta thực

Vậy M40; 10  là điểm cực tiểu của f x y ( , ) .

hiện các bước sau:

• Bước 1. Tìm các điểm cực trị tự do N 1 ,..., N n trong D

(chỉ cần tìm điểm dừng).

Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 1. Hàm số nhiều biến số

VD 13. Cho hàm số f x y ( , )  x 2y 2xy   x y .

Bước 2. Tìm các điểm cực trị P 1 ,..., P p trên biên  D

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f x y ( , ) trong miền

thỏa điều kiện  ( , ) x y  0 (chỉ cần tìm điểm dừng).

D xyx    y .

: 0, 0, 3

VD 14. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Bước 3. Giá trị max ( , ), min ( , )

zxyxy

sin sin sin( )

D f x y D f x y tương ứng là

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị sau:

D   x    y  .

trong miền : 0 , 0

f M f M , f N ( 1 ),..., ( f N n ) , f P ( ),..., ( ) 1 f P p .

2 2

( 1 ),..., ( m )

Giải. Miền D là hình vuông OABC , trong đó:

VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

f x yxy trong miền : 2 2 3

A             B              C             .

; 0 , ; , 0;

D x   x y  4 .

2 2 2 2

• Tại các đỉnh OABC hàm số không khả vi, ta có:

( ) 0, ( ) ( ) ( ) 2

z Oz Az Bz C  .

AB x   y , ta có:

• Trên cạnh : , 0

• Trong miền D , ta có:

   

1 sin sin 1 sin cos

x x y

cos cos( ) 0

      

z   y        2  y         yy

z z

0 cos cos( ) 0

   

y x y



        là điểm dừng và z P ( ) 1   1 2 .

1 ;

P     2 4 

        là điểm dừng và 3 3

z N  .

( ) 2

N     

3 3 ;

• Trên 2 cạnh OA OC , (không kể biên) thì hàm số không

có điểm dừng.

BC y   x , ta có:

z   x       x  2         xx

        là điểm dừng và z P ( ) 2   1 2 .

2 ;

P     4 2 

Vậy max 3 3

2

D

z  tại N và min 0

D

z  tại O .

Hình 14……….