4.6. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến
L L L
Vi phân cấp 2:
2 0; xy 1;
2 0
x y
trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục)
d L 2 40; 10 2 dxdy .
Cho miền D 2 đóng có biên D : ( , ) x y 0 và
Điều kiện: d x y ( , ) ydx xdy
( , )
f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có
40; 10 0
d dx 4 dy 0
thể không khả vi tại m điểm M 1 ,..., M m ).
d L 2 40; 10 8 dy 2 0 .
Giả sử biên D trơn, nghĩa là hàm khả vi.
Để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của f trên D , ta thực
Vậy M 40; 10 là điểm cực tiểu của f x y ( , ) .
hiện các bước sau:
• Bước 1. Tìm các điểm cực trị tự do N 1 ,..., N n trong D
(chỉ cần tìm điểm dừng).
Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 1. Hàm số nhiều biến số
VD 13. Cho hàm số f x y ( , ) x 2 y 2 xy x y .
• Bước 2. Tìm các điểm cực trị P 1 ,..., P p trên biên D
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f x y ( , ) trong miền
thỏa điều kiện ( , ) x y 0 (chỉ cần tìm điểm dừng).
D x y x y .
: 0, 0, 3
VD 14. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
• Bước 3. Giá trị max ( , ), min ( , )
z x y x y
sin sin sin( )
D f x y D f x y tương ứng là
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị sau:
D x y .
trong miền : 0 , 0
f M f M , f N ( 1 ),..., ( f N n ) , f P ( ),..., ( ) 1 f P p .
2 2
( 1 ),..., ( m )
Giải. Miền D là hình vuông OABC , trong đó:
VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
f x y x y trong miền : 2 2 3
A B C .
; 0 , ; , 0;
D x x y 4 .
2 2 2 2
• Tại các đỉnh OABC hàm số không khả vi, ta có:
( ) 0, ( ) ( ) ( ) 2
z O z A z B z C .
AB x y , ta có:
• Trên cạnh : , 0
• Trong miền D , ta có:
1 sin sin 1 sin cos
x x y
cos cos( ) 0
z y 2 y y y
z z
0 cos cos( ) 0
y x y
là điểm dừng và z P ( ) 1 1 2 .
1 ;
P 2 4
là điểm dừng và 3 3
z N .
( ) 2
N
3 3 ;
• Trên 2 cạnh OA OC , (không kể biên) thì hàm số không
có điểm dừng.
BC y x , ta có:
z x x 2 x x
là điểm dừng và z P ( ) 2 1 2 .
2 ;
P 4 2
Vậy max 3 3
2
D z tại N và min 0
D z tại O .
Hình 14……….
Bạn đang xem 4. - TOÁN A3 C3 HUFI EXAM CHUONG 1 A3DH