CHO ABC VUÔNG TẠI A (AB < AC) CÓ AH LÀ ĐƯỜNG CAO. KẺ HM AB...

Bài 38. Cho



ABC

vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Kẻ

HM AB,HN AC





. Gọi I là trung điểm BC; MN cắt AH, AI lần lượt tại O, K.

Chứng minh rằng:

a) BCNM là tứ giác nội tiếp.

b) HOKI là tứ giác nội tiếp.

c)

1

1

1

AK HB HC





.

Hướng dẫn:

a) Ta có

MAN 90 ,ANH 90 ,AMH 90





⁰





⁰





⁰

nên AMHN là hình chữ nhật





 

OAM

cân tại O

OA OM

   

⁰



 















OAM OMA;OAM ACB (90 ABC) OMA ACB

suy ra BCNM là tứ giác nội tiếp.

b)



ABC

vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên IA = IB

 

IAB

cân tại I



IAB IBA

 



, mà

AMK ACB

 





^

^AHN

^



^nên

   

⁰

IAB AMK IBA ACB 90









 

KAM

vuông tại K.

Tứ giác HOKI có

OHI 90 ,OKI 90





⁰





⁰

nên HOKI nội tiếp đường tròn đường

kính OI.



∽







c)

AKO

AHI(g.g)

AK AO

AH

AI













AK.AI AH.AO

AK.

AH.

AK.BC AH

BC

AH

2

2

2

Mặt khác theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

ABC

, ta có

BH.CH AH



2



AK.BC BH.CH















.

1

BC

HB HC

1

1

AK BC.CH

BH.CH

HB HC