(3,0 ĐIỂM) CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN (O R; ) ĐƯỜNG KÍNH BC. LẤY ĐIỂM...
Bài 4.
(3,0 điểm)
Cho n
ửa đườ
ng tròn
(
O R
;
)
đườ
ng kính
BC
. L
ấy điể
m
D
và
E
di độ
ng trên n
ửa đườ
ng tròn
sao cho
EOD
= °
90
(
D
thu
ộ
c
CE
,
E
thu
ộ
c
BD
);
BD
c
ắ
t
CE
t
ạ
i
H
, các tia
BE
và
CD
c
ắ
t
nhau t
ạ
i
A
.
a) Chứng minh tứ giác
ADHE
nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh
OD
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
ADHE
.
c) Kẻ đường thẳng vuông góc với
AB
tại
B
và đường thẳng vuông góc với
AC
tại
C
. Gọi
K
là giao điểm hai đườ
ng th
ẳ
ng này và
I
là trung điể
m
AK
. Tính s
ố
đo góc
BIC
.
d) Tìm v
ị
trí điể
m
D
và
E
trên n
ửa đườ
ng tròn
(
O R
;
)
để
AB
+
AC
l
ớ
n nh
ấ
t.
L
ờ
i gi
ả
i
A
D
E
H
B
O
C
a) Chứng minh tứ giác
ADHE
nội tiếp đường tròn.
Ta có
BEC
=
BDC
= °
90
(các góc n
ộ
i ti
ế
p ch
ắ
n n
ửa đườ
ng tròn)
⇒
AEH
=
ADH
= °
90
(k
ề
bù v
ớ
i các góc vuông); T
ứ
giác
ADHE
có
AEH
=
ADH
= °
90
nên n
ộ
i ti
ếp đường tròn đườ
ng
kính
AH
.
b) Chứng minh
OD
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
ADHE
.
M
Gọi
M
là trung điểm
AH
⇒
M
là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
ADHE
⇒
MD
=
MA
⇒ ∆MDA
cân tại
M
⇒
MDA
=
MAD
;
∆ODC
cân tại
O
⇒
ODC
=
OCD
;
Vì
BEC
=
BDC
= °
90
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒
CE
⊥
AB BD
;
⊥
AC
⇒ ∆
ABC
có
hai đườ
ng cao
BD CE
,
c
ắ
t nhau t
ạ
i
H
⇒
H
là tr
ự
c tâm c
ủ
a
∆
ABC
⇒
AH
cũng là đườ
ng cao
c
ủ
a
∆
ABC
⇒
AH
⊥
BC
⇒
ODC
+
MDA
= °
90
⇒
ODC
+
MDA
= °
90
180
(
)
180
90
90
⇒
ODM
=
° −
ODC
+
MDA
=
° − ° = °
⇒
OD
⊥
MD
tại
D
⇒
OD
là tiếp tuyến
c
ủa đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
giác
ADHE
.
c) K
ẻ
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
AB
t
ạ
i
B
và đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
AC
t
ạ
i
C
. G
ọ
i
K
là giao điểm hai đườ
ng th
ẳ
ng này và
I
là trung điể
m
AK
. Tính s
ố
đo góc
BIC
.
I
K
Ta có
ABK
=
ACK
= °
90
( )
GT
⇒
t
ứ
giác
ABKC
n
ộ
i ti
ếp đường tròn đườ
ng kính
AK
có tâm
I
là trung điể
m c
ủ
a
AK
⇒
BIC
=
2.
BAC
;
= °
90
( )
⇒
= °
90
DOE
GT
sd DE
;
BAC
là góc có đỉnh ngoài đườ
ng tròn
⇒
BAC
=
1
2
(
sd BC
−
sd DE
)
=
1
2
(
180
° − ° =
90
)
45
°
;
2.
2.45
90
⇒
BIC
=
BAC
=
° = °
;
V
ậ
y
BIC
= °
90
.
d) Tìm vị trí điểm
D
và
E
trên nửa đường tròn
(
O R
;
)
để
AB
+
AC
lớn nhất.
F
O
B
C
Trên tia đối của tia
AB
lấy điểm
F
sao cho
AF
=
AC
⇒ ∆AFC
cân tại
A
⇒
AFC
=
ACF
∆
⇒
=
⇒
=
BAC
=
°
=
°
AFC
BAC
AFC
AFC
;
có
BAC
=
45
°
là góc ngoài c
ủ
a
2.
45
22, 5
2
2
Điể
m
F
nhìn đ
o
ạ
n
BC
c
ố
định dướ
i góc 22, 5°
không đổi nên điể
m
F
thu
ộ
c cung ch
ứ
a góc
22, 5°
d
ựng trên đoạ
n
BC
c
ố
đị
nh, t
ừ
đó
AB
+
AC
=
AB
+
AF
=
BF
l
ớ
n nh
ấ
t khi
BF
là
đườ
ng kính c
ủ
a cung tròn này
⇒
BCF
= ° ⇒ ∆
90
FBC
vuông t
ạ
i
C
mà
=
⇒
=
=
⇒ ∆
AF
AC
AF
AC
AB
ABC
cân tại
A
⇒
A H I O
,
, ,
thẳng hàng
⇒
D E
,
lần lượt là
điể
m chính gi
ữ
a các cung:
IC IB
,
.
V
ớ
i
I
là điể
m chính gi
ữ
a
BC
,
AB
+
AC
l
ớ
n nh
ấ
t khi
D E
,
l
ần lượt là điể
m chính gi
ữ
a các
cung:
IC IB
,
.