Câu 6 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn ( ) O đường kính BC cắt các
cạnh AB AC , lần lượt tại các điểm D và E . Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và
.
BE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường
tròn này.
b) Gọi M là giao điểm của AH và BC . Chứng minh CM CB . = CE CA . .
c) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O .
d) Tính theo R diện tích của tam giác ABC , biết ABC · = 45 , 0 ACB · = 60 0 và BC = 2 . R
Hướng dẫn giải
* Một số cách thường dùng để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn :
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 (tổng hai góc đối bù nhau).
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của
đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác đó là một trong các hình: hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.
- Tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau.
a) Ta có :
· 0
BDC = (chắn nửa đường tròn)
90
BEC = (chắn nửa đường tròn)
Suy ra : ADH · = BDC · = 90 , 0 · AEH = BEC · = 90 0
Xét tứ giác ADHE có:
· · 90 0 90 0 180 0
ADH + AEH = + =
Tứ giác ADHE có hai góc đối bù nhau.
Vậy tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn.
* Xét tam giác ADH và AEH có:
- D nhìn cạnh AH dưới một góc 90 nên 3 điểm 0
, ,
A D H cùng thuộc đường tròn tâm I là trung điểm
cạnh AH .
- E nhìn cạnh AH dưới một góc 90 nên 3 điểm , E, 0 A H cùng thuộc đường tròn tâm I là
trung điểm cạnh AH .
Vậy 4 điểm , , , A D H E cùng thuộc đường tròn tâm I là trung điểm cạnh AH .
b) Xét hai tam giác CBE và CAM có :
· ACM là góc chung
· · 90 0
AMC = BEC = (chứng minh trên)
Suy ra hai tam giác CBE và CAM đồng dạng
6
CM CA
Þ = Þ =
. . .
CM CB CE CA
CE CB
c) Ta có :
· ·
IDH = IHD (do ΔIDH cân tại I) ( ) 1
IHD = CHM (đối đỉnh) ( ) 2
Mặt khác : ODC · = OCD · (do ΔODC cân tại O) ( ) 3
Ngoài ra, trong tam giác vuông MHC có :
CHM + MCH = ( ) 4
Từ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3 , 4 suy ra: IDH · + ODC · = 90 0
Suy ra : ID ^ DO
Vậy ID là tiếp tuyến của ( ) O .
d)
Gọi BM = x Þ CM = 2 R - x
Xét ΔABM vuông tại M có :
.tan .tan 45
AM = BM ABM = x = x ( ) *
Xét ΔACM vuông tại M có :
( ) ( )
0 0
. tan 60 2 . tan 60 2 . 3
AM = CM = R - x = R - x ( ) * *
Từ ( ) * và ( ) * * , ta có :
( 2 ) 3 ( 3 3 )
x = R - x Þ x = - R
Vậy: AM = ( 3 - 3 ) R
Suy ra diện tích tam giác ABC là : S = 1 2 AM BC . = 1 2 ( 3 - 3 ) R R .2 = ( 3 - 3 ) R 2 (đvdt).
7
Bạn đang xem câu 6 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Cần Thơ năm học 2017 - 2018
