B CCBB CANA1A1A1A2AKA3A2A2ADDAA DGỌI A, B, C, D LÀ BỐN ĐỈNH H...
Bài 15.
B
C
C
B
A
n
A
1
A
2
A
k
A
3
A
D
A
D
Gọi A, B, C, D là bốn đỉnh hình vuông và
A ; A ;...; A
1
2
n
là n điểm nằm trong hình vuông.
Nối
A
1
với 4 đỉnh A, B, C, D. Khi đó ta được 4 hình tam giác.
.507 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
+ Nếu
A
2
nằm trong một trong 4 tam giác đó (giả sử
A
2
nằm trong tam giác
ADA
1
) Ta nối
A
2
với A, D và
A
1
. Sau khi nối xong thì số tam giác tăng thêm 2.
+ Nếu
A
2
nằm trên cạnh chung nối
A
2
với A và C. Khi đó số tam giác cũng tăng thêm 2.
Như vậy trong mọi trường hợp, số tam giác sẽ tăng thêm 2. Với các điểm
A ; A ;...; A
3
4
n
ta
làm tương tự.
Cuối cùng số tam giác được tạo thành là
4 2 n 1 2n 2
+
(
− =
)
+
tam giác. Các tam giác trên
đều có đỉnh là đỉnh của hình vuông hoặc n điểm đã cho. Khi đó, tổng diện tích của
2n 2
+
tam giác này bằng diện tích hình vuông(bằng 1).
Theo nguyên lý cực hạn thì tồn tại tam giác có diện tích nhỏ nhất trong
2n 2
+
tam giác ấy.
S
1
Gọi diện tích này là S thì
≤
2(n 1)
. Ta có điều cần chứng minh.
+