GỌIDLÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUAA(1; 0)VÀ CÓ HỆ SỐ GÓCK
Bài 29.
Gọi
D
là đường thẳng đi qua
A(1; 0)
và có hệ số góc
k. Tìm
k
để
D
cắt đồ thị
y
=
x
+
2
x
−
1
tại 2 điểm phân
biệt
M,
N
thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị và
AM
=
2AN
Giải
Do
D
là đường thẳng đi qua
A(1; 0)
và có hệ số góc là
k
nên pt
D
:
y
=
k(x
−
1)
Phương trình hoành độ giao điểm của
D
và đồ thị hàm số đã cho là:
x
+
2
x
−
1
=
k(x
−
1)
⇔
kx
2
−
(2k
+
1)x
+
k
−
2
=
0(x
6=
1)
(1)
Đặt
t
=
x
−
1
⇒
x
=
t
+
1
Lúc đó pt
(1)
trở thành:
k(t
+
1)
2
−
(2k
+
1)(t
+
1) +
k
−
2
=
0
⇔
kt
2
−
t
−
3
=
0
(2)
Để
D
cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm
M,
N
thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì pt
(1)
phải có
2 nghiệm
x
1
;
x
2
thỏa
x
1
<
1
<
x
2
⇔
pt
(2)
có 2 nghiệm
t
1
;t
2
thỏa
t
1
<
0
<
t
2
⇔ −3k
<
0
⇔
k
>
0
(∗)
Vì điểm
A
luôn nằm trong đoạn
MN
và
AM
=
2AN
⇒
−→
AM
=
−2
−→
AN
⇒
x
1
+
2x
2
=
3
(3)
x
1
+
x
2
=
2k
+
1
k
(4)
Theo vi-et có :
. Từ
(3)
và
(4)
⇒
x
2
=
k
−
1
k
;
x
1
=
k
+
2
k
x
1
x
2
=
k
−
2
k
(5)
Thay
x
1
;
x
2
vào
(5)
có pt:
(k
+
2)(k
−
1)
k
⇔
3k
−
2
=
0
⇔
k
=
2
3
k
2
=
k
−
2
Đối chiếu đk
(∗)
có
k
=
2
3
là giá trị cần tìm.