LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP TỨ DIỆN ABCD VỚI A(1; 1; 0), B(3;...
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2),
C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2).
Giải:
2
2
IA IB
1;1;1 , 2
IB IC I R IA
Cách 1: Gọi I(x; y; z)
IC ID
Cách 2:
Gọi phương trình mặt cầu là: x
2
y
2
z
2
2ax + 2by + 2cz +d = 0 a
2
b
2
c
2
d 0
Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
2 2 2 0
a b d
6 2 4 14 0
a b c d
1; 2; 2
a b c d
2 2 4 6 0
Kết luận: Phương trình mặt cầu là: x 1
2
y 1
2
z 2
2
4
Chú ý: Bài toán (ĐH KD-2004): Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0),
C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu
đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Cách giải bài toán này tương tự như cách 1 của bài toán trên.
Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu
Bài toán 1: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tại điểm A
Cách giải: mp(P) đi qua A và nhận véc tơ
IA
làm véc tơ pháp tuyến
Bài toán 2: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết
véc tơ pháp tuyến của (P) là: n
A B C ; ;
Cách giải:
P : Ax + By +Cz + D = 0 .
Có: d I P , R Aa +Bb +Cc+D
2
2
2
A R
B C
tìm được D suy ra phương trình mp(P).
Chú ý: Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:
- Biết P song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho trước.
- Biết vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.
Bài toán 3: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S)
tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng
(d) cho trước.
- Xét đường thẳng (d) dưới dạng phương trình tổng quát;
- Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua (d);
- Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mp(P).
Bài toán 4: Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S),
tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) đi qua điểm C và:
1) Song song với đường thẳng (d) cho trước.
2) Vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước.
1) Gọi: Q d C a ; ; P Q a đi qua A và song song với d nên có pt xác định
Bài toán trở thành viết phương trình mp(P) đi qua a và tiếp xúc với mặt cầu (S)
2) Tương tự như trên với: d đi qua A và vuông góc với mp(Q).
Dạng 4: Đường tròn trong không gian
Bài toán 1: Xác định tâm, tính bán kính đường tròn là giao của mặt phẳng với mặt cầu cho
trước:
Cách giải: Sử dụng tính chất ở phần B.I
2)
để tìm tâm, tính bán kính đường tròn
Bài toán 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn là giao của 2 mặt cầu (S), (S') có tâm lần
lượt là I, I'; bán kính R, R'.
- Đưa pt đường tròn là giao của 2 mặt cầu về pt đường tròn là giao của mặt cầu (S) với
một mặt phẳng (Q).
- Tâm của đường tròn là O II ' Q ;
bán kính r R
2
d I P
2
; .
Bài toán 3:
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn sau kẻ
từ A cho trước:
2
2
2