9.40. Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ, tìm một acgumen của mỗi số phức sau
a) w = 2z 2 . b) w = − 1
2z . c) w = −z 2 z.
d) w = z + z. e) w = z 2 + z. f) w = z 2 + z.
Lời giải.
a) Ta có w = 2z 2 = 2(cos ϕ + i sin ϕ) 2 = 2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ). Do đó w có một acgumen là 2ϕ.
b) Ta có w = − 1
2 (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) = cos π + i sin π
2 (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) = 1
2¯ z = −1
2 (cos (π + ϕ) + i sin (π + ϕ)).
Do đó w có một acgumen là π + ϕ.
c) Ta có w = −(cos ϕ + i sin ϕ) 2 (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ))
= (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) (cos (π − ϕ) + i sin (π − ϕ)) = (cos (π + ϕ) + i sin (π + ϕ)).
d) Ta có w = z + ¯ z = (cos ϕ + i sin ϕ) + (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) = 2 cos ϕ.
Nếu cos ϕ > 0 thì w = 2 cos ϕ (cos 0 + i sin 0) nên w có một acgumen là 0.
Nếu cos ϕ < 0 thì w = −2 cos ϕ (cos π + i sin π) nên w có một acgumen là π.
Nếu cos ϕ = 0 thì w = 0 nên w có acgumen không xác định.
e) Ta có w = (cos ϕ + i sin ϕ) 2 + (cos ϕ + i sin ϕ) = (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + (cos ϕ + i sin ϕ)
= 2 cos 3ϕ
cos 3ϕ
.
2 cos ϕ
2 + 2i cos ϕ
2 = 2 cos ϕ
2
2 + i sin 3ϕ
Nếu cos ϕ
nên w có một acgumen là 3ϕ
Bạn đang xem 9. - DAP AN CHUYEN DE TOÁN - SỐ PHỨC
