XÉT TỨ GIÁC ABCD CĨ AC ⊥ BD, O LÀ GIAO ĐIỂM HAI ĐƯỜNG CHÉO.OA =...

113. Xét tứ giác ABCD cĩ AC ⊥ BD, O là giao điểm hai đường chéo.

OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > 0. Ta cĩ :

AB = a + c ; BC = b + c ; AD = a + d ; CD = b + d

AC = a + b ; BD = c + d. Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD.

Thật vậy ta cĩ : AB.BC ≥ 2S

; AD.CD ≥ 2S

. Suy ra :

Suy ra : AB.BC + AD.CD ≥ 2S

= AC.BD.

Vậy : ( ^a

^{+ c}

) ( ^b

^{+ c}

) ( ^{+ a}

^{+ d}

) ( ^b

^{+ d}

) ^{≥ + (a b)(c d) + .}

Chú ý : Giải bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki :

(m

+ n

)(x

+ y

) ≥ (mx + ny)

với m = a , n = c , x = c , y = b ta cĩ :

(a

+ c

)(c

+ b

) ≥ (ac + cb)

⇒ ( ^a

^{+ c c}

) (

^{+ b}

) ≥ ac + cb (1)

Tương tự : ( ^a

^{+ d}

) ( ^d

^{+ b}

) ≥ ad + bd (2) . Cộng (1) và (2) suy ra đpcm.

1

1 1 1

 

A x x x . Vậy minA

= + =   + ÷  − ≥ − = − ^.