THÍ DỤ 2. CHO AI 1N LÀ MỘT DÃY LỒI, ĐẶT CHỨNG MINH RẰNG ...
1
.
Thí dụ 2. Cho
a
i
1
n
là một dãy lồi, đặt
Chứng minh rằng
A
k
1
n
cũng làA
a
k
i
k
i
1
một dãy lồi. Lời giải Cách 1: Định nghĩaf k
k k
1
k
1 2
A
k
A
k
1
A
k
1
,
k
2,3,...,
n
1.
Từ giả thiết suy ra
f k
f k
k k
k
A
A
A
k
k k
A
A
A
1
1
1 2
1
2 2
k
k
k
k
k
k
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
k
k
a
k k
a
k k
a
k k
a
k
k
a
k k
a
i
i
i
i
i
i
1
1
1
1
1
1
k k
a
a
a
1 2
0
k
k
k
1
1
Tức làf k
f k
1 ,
k
3, 4,...,
n
1.
Vì vậy
1
...
2
6 2
2
3
1
0,
f k
f k
f
a
a
a
suy ra2
A
k
A
k
1
A
k
1
,
k
2,3,...,
n
1.
■ Cách 2 : Chứng minh bằng quy nạp : Vớik
1
thì ta dễ dàng có điều phải chứng minh do dãya
n
lồi. Giả sử khẳng định đúng đếnl
, ta có :
2
2
A
A
A
k
l
k
k a
a
a
a
k
k
a
k
l
1
1
2
,
1
2
1
2
...
1
2
,
Ta chứng minhA
l
A
l
2
2
A
l
1
l
2
1
a
l
2
2
a
1
a
2
...
a
l
l
2
3
l a
l
1
.
Thật vậy, do giả thiết quy nạp :
2
2
2
2
l
a
a
a
a
l
a
l
a
a
a
a
a
l
a
1
2
...
1 2
1
2
...
1
l
l
l
l
l
l
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
...
3
.
l
a
a
l
l a
l
a
a
a
a
l
l a
2
1
2
1
2
1
Vậy có điều phải chứng minh.■ Thí dụ 3 (Baltic Way 2014) Cho dãy số
a
i
0
n
n
3
vớia
0
a
n
0
thỏa mãn2
a
a
a
a
i
n
1
2
1
,
1, 2,...,
1.
i
i
i
i
Chứng minh rằnga
i
0,
i
1, 2,...,
n
1.
Giả thiết suy ra dãy đã cho lồi. Áp dụng định lý 2 ta có ngaya
i
0,
i
0,1, 2,..., .
n
■ Thí dụ 4 (IMO SL 1988). Cho
a
k
1
là dãy các số thực lồi không âm sao chok
Chứng minh rằng