CHO M 3 2 2008 3 22008A) CHỨNG MINH RẰNG M CÓ GIÁ TRỊ...

Câu 22. Cho

^M

^



³

^

²

 

²⁰⁰⁸

^

³

^

²



²⁰⁰⁸

a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.

b) Tìm chữ số tận cùng của M.

a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên.

Biến đổi

^M

^{ }



^{5 2 6}

 

¹⁰⁰⁴

^{ }

^{5 2 6}



¹⁰⁰⁴

^.

Đặt

a

 

5 2 6

;

b

 

5 2 6

  

a

b 10

và

a.b



1

.

Đặt

U

_n



a

ⁿ



b

ⁿ

với

n



N

. Khi đó M = U

1004

Ta có

U

n 2

_



a

^{n 2}

^



b

^{n 2}

^



a.a

^{n 1}

^



b.b

^{n 1}

^





10 b a





^{n 1}

^





10 a b





^{n 1}

^



^{n 1}

^{n 1}

 

ⁿ

ⁿ



^{n 1}

ⁿ













(vì ab = 1).

10 a

^

b

^

ab a

b

10U

_

U







(*).

U

_

10U

_

U

n 2

n 1

n

Ta thấy U

0

= 2



Z ; U

1

= a + b = 10



Z.

U

2



a

²



b

²





a



b



²



2ab 10



²



2.1 98





Z

.

Theo công thức (*) thì

U

₃



10U

₂



U

₁

mà U

₁

, U

₂



Z

suy ra

U

₃



Z

.

Lại theo (*)

U

₄



10U

₃



U

₂

cũng có giá trị nguyên.

Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra U

_n

có giá trị nguyên với mọi n



N

^*

.

Suy ra M = U

1004

có giá trị là một số nguyên.

a)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm)

Từ (*) suy ra

U

_{n 2}

_



U

_n



10U

_{n 1}

_

10



 

























và U

r

U

_

U

U

_

U

_

U

_

U

10

U

_

U

10

U

_

n 4

n

n 4

n 2

n 2

n

n 4

n

4k r

có chữ số tận cùng giống nhau.

1004 = 4.251 suy ra U

₁₀₀₄

và U

₀

có chữ số tận cùng giống nhau.

Mà U

₀

có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2.