MUỐN NHÂN MỘT ĐA THỨC VỚI MỘT ĐA THỨC, TA NHÂN MỖI HẠNG TỬ CỦA ĐA T...
2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này
với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho bốn số, số sau hơn số trước là 2. Chứng minh rằng hiệu của tích hai
số ở giữa và tích của số đầu với số cuối luôn không đổi.
Giải. Gọi bốn số đã cho là x, x + 2, x + 4 và x + 6. Hiệu của tích hai số ở giữa và
tích của số đầu với số cuối là :
(x + 2)(x + 4) - x(x + 6) =
x2
+ 4x + 2x + 8 -
x2
- 6x = 8 (không đổi).
Ví dụ 2. Cho m số, mỗi số bằng 3n + 1 và n số, mỗi số bằng 9 - 3m. Biết tổng tất
cả các số đó bằng 5 lần tổng m + n. Chứng minh rằng m = n.
Giải. Tổng của m số (3n+ 1) với n số (9 - 3m) là m(3n + 1) + n(9 - 3m).
Theo đề bài ta có
m(3n + 1) + n(9 - 3m) = 5(m + n)
<=> 3mn + m + 9n - 3mn = 5m + 5n
<=> 9n - 5n = 5m - m
<=> 4n = 4m <=> n = m.
Ví dụ 3. Tính tổng các hệ số của luỹ thừa bậc ba, luỹ thừa bậc hai và luỹ thừa bậc
nhất trong kết quả của phép nhân (
x2
+ x + 1)(
x3
- x + 1).
Giải
Ta có (x + x + 1)(x - x + 1)
2
3
5
3
2
4
2
3
= x - x + x + x - x + x + x - x + 1
5
4
= x + x + 1.
Hệ số của luỹ thừa bậc ba là 0, hệ số của luỹ thừa bậc 2 là 0, hệ số của luỹ thừa bậc
nhất là 0 nên tổng các hệ số này bằng 0.
Ví dụ 4. Cho M = (x + a)( x + bx + 16) và N =
2
x - 64.
3
a)Viết biểu thức M dưới dạng một đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần của x.
b)Với giá trị nào của a và b thì hai đa thức M và N luôn có giá trị bằng nhau với
mọi giá trị của x ?
a) Ta có
M = (x + a)(x + bx + 16)2
b)M = N với mọi giá trị của x
3
2
3
<=> x + (a + b)x +(ab + 16)x + 16a = x - 64, x
a + b = 0
a = -4
<=> ab + 16 =0 <=>
b = 4
16a = -64
Nhận xét: Hai đa thức viết dưới dạng thu gọn có giá trị bằng nhau với mọi giá trị
của biến khi và chỉ khi các hệ số của các luỹ thừa cùng bậc bằng nhau.
Ví dụ 5. Cho biểu thức A = (4m - 1)(n - 4) - (m - 4)(4n - 1). Chứng minh rằng A
15 với mọi giá trị nguyên của m và n.
A = (4m - 1)(n - 4) - (m - 4)(4n - 1)
= 4mn - 16m - n + 4 - (4mn - m - 16n + 4)
= 4mn - 16m - n + 4 - 4mn + m + 16n - 4
= -15m + 15n = -15(m - n)
15.
Ví dụ 6. Cho bốn số nguyên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được
những số dư khác nhau. Chứng minh rằng hiệu của tích hai số cuối với tích của hai
số đầu là một số có tận cùng đúng một chữ số 0.
Giải. Gọi bốn số nguyên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được những
số dư khác nhau lần lượt là 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4 (k
Z).
Ta có 5k + 3 5k + 4 - 5k + l 5k + 2
2
2