2 VÍ DỤ MINH HỌA TRANG 18 TRANG 18
3.2 VÍ DỤ MINH HỌA
Trang 18
Áp dụng hệ quả định lí Bézout phân tich các đa thức (thường có các hệ số nguyên và
nghiệm nguyên) thành nhân tử, ta thường làm như sau:
Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó (thường là ước của hạng tử tự do trong đa thức
cần phân tích) tìm f a ( ) .
Bước 2: Nếu f a ( ) 0 thì f x ( ) f x a g x ( ). ( ) . Để tìm g(x) ta dùng phép chia đa thức
( )
f x cho x – a, hoặc dùng lược đồ Horner, hoặc tách thêm bớt các hạng tử một cách hợp
lí sao cho xuất hiện nhân tử chung x – a.
Bước 3: Tiếp tục phần tích g x ( ) thành nhân tử nếu còn phân tích được.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 x
3
7 x
2
x 10.
Nhận xét: Thay x bằng các giá trị là ước của 10 (± 1; ± 2; ± 5; ± 10) ta thấy với x = – 1
thì f ( 1) 2 7 1 10 0 . Vậy f x ( ) ( x 1). ( ) g x . Ta tìm g x ( ) :
Cách 1: Tách thêm bớt các hạn tử:
3
2
3
2
2
( ) 2 7 10 2 2 9 9 10 10
f x x x x x x x x x .
2 ( x x
2
1) 9 ( x x 1) 10( x 1)
( x 1)(2 x
2
9 x 10).
Phân tích tiếp 2 x
2
9 x 10 2 x
2
4 x 5 x 10 2 ( x x 2) 5 ( x x 2) ( x 2)( x 5).
Vậy f x ( ) ( x 1)( x 2)(2 x 5).
Cách 2: Dùng đặc tính chia đa thức:
2x
3– 7x
2+ x + 10 x + 2
–
2x
3+ 2x
22x
2– 9x +10
– 9x
2+ x + 10
– 9x
2– 9x
10x + 10
0
Nhận xét với x 2 thì g (2) 0 rồi chia tiếp g x ( ) 2 x
2
9 x 10 cho x 2.
2x
2– 9x + 10 x – 2
2x
2– 4x 2x – 5
– 5x + 10
Cách 3: Dùng lược đồ Horner:
Hệ số của f x ( ) 2 7 1 10
10 ( 1).10 0 r
Hệ số của g x ( ) a 1 2 7 ( 1).2 9 1 ( 1).( 9) 10
Vậy g x ( ) 2 x
2
9 x 10 và f x ( ) ( x 1)(2 x
2
9 x 10)
Ví dụ 2. Cho đa thức f x ( ) a x
10
10
a x
9
9
... a x
2
2
a x a
1
0
. Chứng minh rằng:
a) Đa thức f x ( ) chia hết cho x – 1 nếu tổng các hệ số bằng 0.
Trang 19
b) Đa thức f x ( ) chia hết cho x + 1 nếu các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các
chữ số của hạng tử bậc lẻ.
Ví dụ 3. Không dùng chia đa thức, xét xem đa thức h x ( ) x
3
7 x 6
a) Có chia hết cho x + 2 hay không?
b) Có chia hết cho x – 2 hay không?
c) Có chia hết cho x – 4 hay không?
Ví dụ 4. Tìm đa thức f x ( ) biết rằng khi chia cho x + 2 thì dư – 4; chia cho x 3 thì dư
21; chia cho x
2
x 6 thì được thương là x
2
4 và còn dư.
Ví dụ 5. Cho đa thức f x ( ) x
5
3 x
4
2 x
3
9 x
2