√ XY+ Z + √ 2 X2+2 Y21+ √ XY ≥ 1. ⇔ √ XY + Z + √ 2 X2+2 Y2≥ 1+ √ XY...

2) √ ^{xy+ z +} √ ^{2 x}

^{+2 y}

1+ √ xy ≥ 1. ⇔ √ ^{xy + z +} √ ^{2 x}

^{+2 y}

^{≥ 1+} √ ^xy

áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có

x+ y ¿

⇒ √ ^{2 (x}

^{+ y}

^{) ≥ x + y}

2 (x

+ y

) ≥ ¿

Nên √ ^{xy + z+} √ ^{2 x}

^{+ 2 y}

^≥ √ ^{xy+ z + x + y} ta phải chứng minh

√ ^{xy+ z + x + y ≥ 1+} √ ^{xy ⇔} √ ^{xy + z +1− z ≥ 1+} √ ^{xy ⇔} √ ^{xy + z ≥ z +} √ ^xy

⇔ xy+ z ≥ z

+ 2 z √ ^{xy+ xy} ⇔ z − z

≥2 z √ ^xy ⇔ 1 − z ≥2 √ ^xy ⇔ x + y ≥ 2 √ ^{xy (dung)}

Dấu “=” xảy ra khi x= y= 1 − z

2 = 1

3

Cách khác ta có

x+ y ≥ 2 √ xy ⇔ x + y + z ≥ z + 2 √ xy ⇔ 1≥ z +2 √ xy ⇔ z ≥ z

+2 z √ xy

¿

√ ^{xy + z ¿}

^⇔ √ ^{xy+ z ≥} √ ^{xy + z (1)}

⇔ xy + z ≥ xy+ z

+2 z √ xy= ¿

2 (x

+ y

) ≥ ¿ (2)

Từ (1) và (2) ta có √ ^{xy + z+} √ ^{2 x}

^{+ 2 y}

^≥1+ √ ^{xy ⇔} √ ^{xy + z +} √ ^{2 x}

^{+2 y}

1+ √ ^{xy ≥ 1 .}

Dấu “=” Xảy ra khi x= y= 1 − z

Cõu III

Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và M là điểm nằm trong tam giỏc. Kớ

hiệu H là hỡnh chiếu của M trờn cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hỡnh chiếu

của H trờn cỏc đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F

thẳng hàng.